СПРАВОЧНИК

МАРКШЕЙДЕРА

СПРАВОЧНИК АРКШЕЙДЕР

ЧАСТЬ I

Под редакцией

Т. В. БУТКЕВИЧА и Д. Н. ОГЛОБЛИНА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО ЧЕРНОЙ И ЦВЕТНОЙ МЕТАЛЛУРГИИ

Москва 195$

АННОТАЦИЯ

В Справочнике маркшейдера освещены теоретические и практические вопросы маркшейдерии и геодезии, а также горного и геолого-разведочного- дела, с которьщи приходится встречаться маркшейдеру-производственнику. Справочник выходит в двух частях.

В первой части приведены справочные материалы по общим вопросам работы маркшейдера шахты: математика, теория ошибок, способы вычислений, теория проекций, геология и учение о рудных месторождениях, разработка месторождений подземным и открытым способом, высшая геодезия, топография, инструментоведение и фотограмметрия.

При подборе материалов для справочника особое внимание было уделено практике работ маркшейдера шахты в соответствии с имеющимися техническими инструкциями.

В составлении первой части справочника принимала участие большая группа научных работников различных институтов, а также маркшейдеров-производственников, геологов и горняков.

Справочник рассчитан на широкий круг работников маркшейдерского и горного дела, а также студентов институтов и техникумов.

Редактор издательства В. Н. Парцевский Технический редактор В. В. Михайлова

Сдано в производство 18/XI—52 г. Подписано к печати 12/Х—53 г.

• Бумага 84 X 108»/ie — 16,13 б. л. = 52,89 п. л. Учет. изд. л. — 60,75 Зн. в 1 л. л. — 45 940 Тираж 10.000 Т-08003 Заказ 2352 Цена 32 руб. 40 коп.

Типография Металлургиздата, Москва, Цветной бульвар, д. 30

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.............................................. 15

ГЛАВА ПЕРВАЯ

ВВЕДЕНИЕ

(Д. Н. Оглоблин)

§ 1. Основные задачи маркшейдерской службы горного предприятия ............................................... ]J

§ 2. История развития маркшейдерского дела в России...... *0

§ 3. Основные моменты развития советской маркшейдерии.. 30

Литература.............................................. 34

ГЛАВА ВТОРАЯ

МАТЕМАТИКА

(Г. С. Абрамов и Д. Н. Оглоблин)

§ 4. Алгебра............................................ 35

§ 5. Логарифмы ........................................ 39

§ 6. Определители (детерминанты) ..................... 41

§ 7. Измерение углов.................................. 45

§ 8. Площади плоских фигур ............................ 46

§ 9. Объемы тел ........................................ 48

§ 10. Гониометрия ...................................... 53

§ 11. Плоская тригонометрия .............................. 57

§ 12. Сферическая тригонометрия ........................ 59

§ 13. Аналитическая геометрия на плоскости .............. 63

§ 14. Аналитическая геометрия в пространстве ........... 67

§ 15. Диференциальное исчисление........................ 70

§ 16. Интегральное исчисление............................ 74

§ 17. Диференциальная геометрия ........................ ■

Литература.............................................. 83

4

Оглавление

ГЛАВА ТРЕТЬЯ ПРОЕКЦИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В МАРКШЕЙДЕРСКОМ

ДЕЛЕ

(Д. Н. Оглоблин и А. П. Рилов)

§ 18. Общие сведения .................................... 84

§ 19. Проекции с числовыми отметками .................... 85

§ 20. Аксонометрические проекции ........................ 98

§ 21. Аффинные проекции ................................ 104

§ 22. Механические способы построения аффинных проекций .................................................. 108

§ 23. Стереографические проекции ........................ 113

Литература.............................................. 116

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ТЕОРИЯ ОШИБОК И СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

(В, А. Романов)

§ 24. Общие сведения .................................... 117

Л. Теория ошибок измерений

§ 25. Случайные ошибки измерений и их свойства............ 118

§ 26. Накопление средних ошибок измерений при вычислениях 119 § 27. Веса функций измеренных величин............*...... 124

Б. Уравновешивание прямых, независимых измерений

§ 28. Прямые, независимые, равноточные измерения (простая

арифметическая середина) ............................ 125

§ 29. Прямые, независимые, неравноточные измерения (общая арифметическая середина) ........................ 126

В. Уравновешивание прямых условных измерений

§ 30. Теория............................................ 128

§ 31. Пример уравновешивания полного геодезического четы-

реугольника по способу прямых условных измерений.. 139 § 32. Определение точности измерений уравненных величин

и функций уравненных величин...................... 147

§ 33. Оценка точности уравновешенного полного геодезического четы реу гол ьника............................... 149

§ 34. Теория двухгруппового уравновешивания ............ 150

§ 35. Оценка точности измерений и результатов при двух-

групповом уравновешивании ............................ 157

Г. Уравновешивание посредственных (косвенных) измерений

§ 36. Теория ..'............................................ 159

\ 37. Определение средних погрешностей измерений и результатов уравнительных вычислений.................. 169

Оглавление - 5

§ 38. Пример уравнивания и оценки точности посредственным (косвенным) способом вставки точки в имеющуюся триангуляционную сеть............................ 171

Д. Элементы теории вероятностей и приложение ее к теории случайных ошибок

§ 39. Элементы теории вероятностей ...................... 184

§ 40. Приложение теории вероятностей к теории случайных

ошибок.............................................. 1^6

Литература................................................. 189

ГЛАВА ПЯТАЯ СПОСОБЫ МАРКШЕЙДЕРСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

(С. И. Никольский и Д. Н, Оглоблин)

§ 41. Общие сведения .................................... 190

§ 42. Некоторые сведения о приближенных вычислениях.. 190

§ 43. Основные правила маркшейдерских вычислений ...... 194

§ 44. Интерполирование .................................. 195

§ 45. Логарифмическая линейка .......................... 196

§ 46. Специальная счетная линейка МГМ ................... 200

§ 47. Вычисления с помощью номограмм ......'............ 201

§ 48. Счетные машины для геодезических и маркшейдерских

вычислений .......................................... 206

§ 49. Арифмометр и другие счетные "Машины, работающие

по принципу колес Однера............................ 207

§ 50. Клавишная счетная машина КСМ-2 и другие механизмы, работающие по принципу ступенчатого валика 212 § 51. Счетные машины, работающие по принципу пропорционального рычага.................................... • 215

§ 52. Суммирующие машины.........................•..... 217

Литература .. ............................................ 219

ГЛАВА ШЕСТАЯ

ГЕОЛОГИЯ, МИНЕРАЛОГИЯ, РУДНЫЕ МЕСТОРОЖДЕНИЯ И ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЕ РАБОТЫ

(Н. А. Хрущов)

А. Общие сведения

§ 53. Строение и состав земли ............................

5 54. Земная кора, ее строение и состав ..................

§ 55. История развития земной коры......................

§ 56. Распространение химических элементов в земной коре

220 221 222 224

6

Оглавление

Б. Минералогия

§ 57. Определение минералогии как науки и ее развитие .. 228

§ 58. Условия минералообразования в земной коре ........ 228

§ 59. Строение и состав минералов ........................ 230

§ 60. Физические свойства минералов ...................... 231

§ 61. Классификация минералов .......................... 233

§ 62. Наиболее распространенные или важные для промышленности минералы ............................. 234

5. Петрография

§ 63. Общие сведения .................................... 246

§ 64. Изверженные горные породы....................... 249

§ 65. Осадочные горные породы ____...................... 252

§ 66. Измененные, или метаморфические, горные породы---- 254

Г. Формы залегания и нарушения рудных тел и горных пород

§ 67. Первичные структурные геологические формы........ 256

§ 68. Вторичные тектонические структурные геологические

формы ............................................. 259

Д. Рудные месторождения

% 69. Общие сведения и классификация...............*..... 261

§ 70. Месторождения черных металлов...................... 264

6 71. Месторождения цветных металлов ................... 273

§ 72. Группа редких металлов ............................ 283

§ 73. Поверхностное изменение рудных месторождений ---- 284

Е. Изучение и разведка рудных месторождений

§ 74. Общие сведения .................................... 286

§ 75. Геологическая съемка .............................. 2Ь7

§ 76. Геологоразведочные работы.......................... 289

Литература .............................................. ^Уо

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

РАЗРАБОТКА РУДНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИИ ПОДЗЕМНЫМ СПОСОБОМ

(Г, М. Малахов)

77. Основные понятия и термины ........................ 296

78. Вскрытие месторождений ............................ 298

79. Проходка шахтных стволов .......................... 300

80. Проведение горизонтальных выработок .............. 311

81. Проходка восстающих .............................. 317

82. Классификация систем разработки рудных месторождений................................................. 317

Оглавление

7

§ 83. Системы разработки с открытым выработанным про-

странством......................................... 318

I. Почвоуступная система разработки .............. 318

II. Потолкоуступная система разработки ............ 320

III. Сплошная система разработки .................... 323

IV. Камерно-столбовая система разработки ......... 328

V. Система разработки подэтажными штреками ...... 330

§ 84. Система разработки с магазинированием отбитой руды 346 § 85. Система разработки с закладкой выработанного пространства ........................................... 353

§ 86. Система разработки с креплением выработанного пространства ....................................,....... 363

§ 87. Система разработки с креплением и закладкой выработанного пространства............................. 369

§ 88. Система разработки с обрушением вмещающих пород 373

I. Слоевое обрушение ........................... 373

И. Столбовые системы разработки с обрушением кровли 381

§ 89. Системы разработки с обрушением руды и покрывающих пород ......................................... 384

I. Подэтажное обрушение .......................... 384

II. Этажное (блоковое) естественное обрушение ...... 394

III. Этажное (блоковое) принудительное обрушение .. 397

IV. Массовое обрушение руды взрывами минных скважин ............................................ 399

§ 90. Комбинированные системы разработки .............. 406

Литература .............................................. 416

ГЛАВА ВОСЬМАЯ РЕЛЬСОВЫЕ ПУТИ В ШАХТЕ

(Т. С. Бурчак)

§ 91. Рельсовая колея.................................... 418

§ 92. Верхнее строение пути .............................. 419

§ 93. Особенности расположения рельсовых путей на криволинейных участках ................................. 420

§ 94. Стрелочные переводы ..................•.............. 425

§ 95. Пути самокатной откатки ............................ 437

§ 96. Габариты откаточных выработок .................... 440

Литература .............................................. 441

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ

РАЗРАБОТКА РУДНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИИ ОТКРЫТЫМ СПОСОБОМ

(И. Р. Ворошилин)

§ 97. Терминология ...................................... 442

§ 98. Вскрытие месторождений............................ 444

V 99. Системы разработки............... 448

8

Оглавление

§ 100. Механизация вскрышных и добычных работ .......... 453

§ 101. Взрывные работы.................................. 464

§ 102. Транспорт .......................................... 470

§ 103. Отвальное хозяйство ............................... 477

Литература .............................................. 483

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ ИНСТРУМЕНТОВЕДЕНИЕ

(И. #. Рейзенкинд)

§ 104. Основные сведения из геометрической оптики ........ 484

§ 105. Оптические части маркшейдерских и геодезических инструментов ......................................... 493

§ 106. Уровни ...........................................". 500

§ 107; Отсчетные приспособления.......................... 508

§ 108. Угломерные инструменты ............................ 518

§ 109. Поверки и исследования угломерных инструментов . 547

§ ПО. Нивелиры .......................................... 558

§ 111. Поверки и исследования нивелиров .................. 567

§ 112. Нивелирные рейки .................................. 572

§ 113. Дальномеры ........................................ 577

§ 114. Тахеометры ........................................ 589

§ 115. Мензула и кипрегель............................... 599

§ 116. Оптические отвесы .................................. 601

§ 117. Оптический проектио направлений .................. 604

§ 118. Магнитные инструменты ............................ 607

§ 119. Инструменты для камеральных работ ................ 613

§ 120. Основные сведения об уходе за маркшейдерскими

и геодезическими инструментами................... 617

Литература.............................................. 619

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ

ВЫСШАЯ ГЕОДЕЗИЯ

(А. В, Буткевич)

А. Земной эллипсоид

§ 121. Общие сведения.................................... 620

8 122. Обозначения и основные формулы для эллипсоида---- 622

§ 123. Вычисления длин дуг меридианов и параллелей ...... 624

§ 124. Вычисление площадей сфероидических трапеций .... 628

§ 125. Исследование кривых на эллипсоиде (сфероиде)...... 629

| 126. Решение треугольников на сфероиде ...... 630

§ 127. Вычисление, геодезических координат на сфероиде

(главная геодезическая задача) ...................... 633

§ 128. Фигура Земли ...................................... 640

Оглавление

9

Б. Единая система плоских прямоугольных координат в СССР

§ 129. Системы прямоугольных координат, применявшиеся в

России и в СССР ...................................... 642

§ 130. Плоские прямоугольные координаты в конформной проекции Гаусса ...................................... 644

§ 131. Переход от геодезических координат к плоским прямоугольным в проекции Гаусса .......----.............648

§ 132. Переход от плоских прямоугольных координат к геодезическим ..........................................649

§ 133. Порядок обработки триангуляции II—IV классов в системе плоских координат Гаусса ........................ 654

§ 134. Перечисление координат Гаусса из одной зоны в другую..............................................661

§ 135. Построение километровой и географической сеток на картах..............................................662

§ 136. Переход от местной системы координат к единой системе координат 1942 г................................. 664

В. Картография

§ 137. Предмет и содержание картографии ................ 666

§ 138. Содержание карт. Картографическая генерализация .. 667 § 139. Математические элементы карт и свойства картографических проекций.................................... 668

§ 140. Проекции мелкомасштабных карт .................... 669

§ 141. Номенклатурные карты и их свойства .............. 683

§ 142. Картометрия и метрические свойства мелкомасштабных

карт ..................................................686

§ 143. Понятия о методах составления и издания карт .... 689 § 144. Обзор важнейших карт СССР ...................... 691

Г. Практическая астрономия

§ 145. Введение.......................................... 691

§ 146. Системы координат в астрономии ..................692

§ 147. Измерение времени ..................................694

§ 148. Вычисление координат Солнца и звезд................696

§ 149. Подготовка к наблюдениям.......................... 697

§ 150. Определение широты по Полярной..................698

§ 151. Определение азимута и поправки часов по высотам

Солнца..............................................700

§ 152. Определение азимута по способу Ф. Н. Красовского 703 § 153. Определение азимута по способу А. А. Лукерьина .., 705

§ 154. Понятие об определении разности долгот.............706

Литература........................................... 707

10

Оглавление

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ ОСНОВНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

(Т. А. Буй и А. В. Буткевич)

§ 155. Общие сведения ................................... 709

§ 156. Схемы построения государственной опорной геодезической сети в СССР .................................... 710

§ 157. Маркшейдерские (малые) триангуляции .....А....... 718

§ 158. Составление проекта и рекогносцировка триангуляции 721

§ 159. Постройка знаков и закладка центров .............. 727

§ 160. Линейные измерения ____г........................... 732

§ 161. Угловые измерения................................739

| 162 Предварительная (полевая) обработка триангуляции 745 § 163. Уравновешивание триангуляции по методу условных

наблюдений........................................ 753

§ 164. Строгое и приближенное уравновешивание типичных

фигур триангуляции ............................... 769

§ 165. Уравновешивание триангуляции по методу посредственных наблюдений .....Г____:........................... 786

§ 166. Геометрическое нивелирование III—IV классов ...... 801

§ 167. Геодезическое нивелирование ........................ 804

§ 168. Полигонометрия ....................................806

Литература ..................................,...........811

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ ТОПОГРАФИЯ

(И..А. Блашкевич)

§ 169. Общие сведения .................................... 813

§ 170. Номенклатура карт и планов ........................ 815

Л. Теодолитная съемка

§ 171. Назначение теодолитной съемки....................817

§ 172. Теодолитные ходы как метод определения координат

пунктов съемочного обоснования ........................817

§ 173. Ориентирование линий..............................821

§ 174. Уравнивание теодолитных ходов и вычисление координат..................................................822

§ 175. Аналитические сети (микротриангуляция) ............832

§ 176. Определение координат пунктов решением прямой

засечки (засечка вперед)......................v...... 833

§ 177. Определение координат пунктов решением обратной

засечки...........................................840

§ 178. Съемка ситуации................................844

§ 179. Камеральные работы при теодолитной; съемке 845

Оглавление

11

Б. Тахеометрическая съемка

§ 180. Общие сведения .................................... 846

§ 181. Опорная сеть при тахеометрической съемке .......... 847

§ 182. Тахеометрическая съемка подробностей ..............848

§ 183. Съемка рельефа^....................................851

§ 184. Камеральные работы при тахеометрической съемке 852 § 185. Основные требования к тахеометрической съемке .... 853

В. Мензульная съемка

§ 186. Общие сведения и инструменты ...................... 854

§ 187. Подготовка планшета................................ 855

§ 188. Основные требования по обоснованию мензульных

крупномасштабных съемок ............................ 856

§ 189. Съемка ситуации .................................... 857

§ 190. Съемка рельефа .................................... 858

§ 191. Камеральные работы................................ 859

Геометрическое нивелирование

§ 192. Общие сведения .................................... 859

§ 193. Инструменты ....................................... 860

§ 194. Геометрическое нивелирование как создание высотной

основы при съемках (нивелирование IV класса)......861

§ 195. Уравнивание нивелирных ходов......................862

| 196. Инженерно-техническое нивелирование ..............865

§ 197. Разбивка пикетажа................................865

| 198. Разбивка главных точек кривой ....................866

§ 199. Детальная разбивка кривых ........................867

| 200. Нивелирование трассы ..............................869

| 201. Составление профиля................................ 869

§ 202. Нивелирование площадей ............................872

§ 203. Физическое нивелирование ..........................873

§ 204. Определение площадей по плану ....................875

Литература ..............................................876

ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ФОТОГРАММЕТРИЯ

(И, Я. Рейзенкинд) § 205. Общие сведения ....................................877

А. Наземная фотограмметрия

§ 206. Фототеодолит, его устройство и поверки ........... 878

§ 207. Наземная фотограмметрическая съемка ..............881

§ 208. Наземная стереофотограмметрическая съемка. Определение пространственньдх координат точек местности 88?

12

Оглавление

§ 209. Стереокомпаратор, его устройство и поверки ........885

§ 210. Ориентирование снимков на стереокомпараторе и определение места нулей шкал х, г и параллаксов, наблюдение снимков, графическое определение координат х, у, z 888

Б. Контурно-комбинированная аэросъемка

§ 211. Анализ аэроснимка......................Л..........891

§ 212. Летносъемочный процесс ............................897

§ 213. Составление плана при контурно-комбинированной

аэросъемке ..........................................899

§ 214. Геодезические работы при . контурно-комбинированной

аэросъемке............................................. 911

В. Высотная аэрофотосъемка

§ 216. ДиференцированЪый способ обработки снимков...... 913

§ 216. Универсальный метод обработки снимков ............925

Литература.............................................. 928

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

Таблица I. Величины Iff П1. Iff ДО и X..................... 930

Таблица II. Вспомогательные величины..................... 937

Таблица III. Величина Iff—................................• 937

Таблица IV. Поправки ^х"*................................ 938

Таблица V. Поправки As = — [5] S2 ............... 939

Таблица VI. Вспомогательные величины .................. 939

Таблица VII. Поправки ls, Ms и uh .................. 942

Таблица VIII. Искажения расстояний m — 1 в конформной

проекции Гаусса ................................ 943

Уш

Таблица IX. Поправки расстояний A5 = S ——........ 943

Таблица X. Поправки направлений 6".................... 944

Таблица XI. Таблицы для перехода к системе координат

1942 г.................................... 945

Таблица XII. Картографические таблицы................... 951

Таблица XIII. Средняя рефракция ........................ 953

Таблица XIV. Леревод часовых единиц в градусные и обратно 954

Таблица XV. Таблица азимутов звезд ....................... 955

Таблица XVI. Постоянная таблица координат Солнца ....... 957

Таблица XVII. Перевод среднего времени в звездное ....... 961

Оглавление

13

Таблица XVIII. Перевод звездного времени в среднее ....... 962

Таблица XIX. Видимые координаты Полярной ............. 963

Таблица XX. Величины R= оА + Ьв + Г'А 1в......... 964

Таблица XXI. Величины к для вычисления сближения меридианов ..'....................................... 965

Таблица ХХ1Г" Таблица для приведения суммарных уравнений

на станции к весу р = —1 ................... 966

Таблица XXIII. Таблица для вычисления коэфициентов уравнений погрешностей......................... 967

Таблица XXIV. Поправки г за кривизну Земли и рефракцию . 969

Таблица XXV. Таблица поправок для приведения к горизонту

20-л« пролетов............................... 970

h2d

Таблица XXVI. Дополнительные поправки Д=—..... 972

Таблица XXVII. Таблица поправок для приведения к горизонту 24-м пролетов ........................... 973

Таблица XXVIII. Дополнительные поправки Д = ^2 .... 975

Таблица XXIX. Квадраты, квадратные корни из чисел и величины, обратные числам и их квадратам для чисел от 1 до 350..................... 976

Таблица XXX. Натуральные значения тригонометрических

функций............................. 984

Таблица XXXI. Некоторые часто встречающиеся математические величины и их логарифмы.............. 986

Таблица XXXII. Длины дуг и хорд для радиуса, равного 1 м 987 Таблица XXXIII. Перевод градов в градусную меру ....... 989

Таблица XXXIV. Поправки за наклон линий по формуле

Л2

Таблица XXXV. Поправки за наклон линий по формуле

Д1 = 2/,5ш2 —......................... 995

Таблица XXXVI. Поправки к длинам сторон за провес стальной пятидесятиметровой рулетки........ 997

Таблица XXXVII. Поправки к длинам сторон за провес стальной двадцатиметровой рулетки.......... 999

Таблица XXXVIII. Поправки к длинам сторон за несимметрию провеса рулетки....................1000

Таблица XXXIX. Поправки к длинам сторон за разность температур при измерении и компариро-ваяии...................................1001

Таблица XL. Поправки к длинам сторон за приведение к средней уровенной поверхности ...................1003

14

Оглавление

Таблица XLI. Превышения и горизонтальные проложения линий «ри определении расстояний по дальномеру .....................................Ю04

Таблица XLII. Геометрические элементы для разбивки закруглений при R= 1000 м ...................1011

Таблица XLIII. Барометрические таблицы...................1020

Таблица XLIV. Вероятности появления ошибок в пределах.

от —km до +km .............................1026

Таблица XLV. Плотности некоторых твердых тел, жидкостей

и газов ......................................1027

Таблица XLVI. Температурные коэфициенты расширения.....1028

Список общеобязательных технических инструкций по всем видам- топографо-геодезических работ (по состоянию на 1 января 1952 г.) .......................*С29

ПРЕДИСЛОВИЕ

Необходимость издания справочника, в котором маркшейдер шахты мог бы найти все основные сведения, требующиеся в его практической работе, неоднократно указывалась многими маркшейдерами-производственниками. Маркшейдерский справочник, изданный в 1938 г. под редакцией проф. докт. И. М. Бахурина, проф. докт. Н. Г. Келля и инж. Г. Н. Кузнецова, в настоящее время представляет библиографическую редкость и в значительной части устарел. К тому же в нем не был! освещен ряд важных вопросов, с которыми приходится сталкиваться маркшейдеру в процессе работы. Это обстоятельство заставило маркшейдерскую общественность поднять вопрос о подготовке к печати и издании нового маркшейдерского справочника. Инициатива в создании настоящего справочника принадлежит уральским маркшейдерам.

Составленный нами предварительный план справочника был подвергнут широкому обсуждению на многих горнорудных предприятиях СССР. Редакторами было получено большое число замечаний и пожеланий по проекту плана справочника и по содержанию его разделов. В этой важной работе приняли участие маркшейдеры горнорудных предприятий Кривого Рога, Урала, Кавказа, Казахстана, Дальнего Востока и многих других. В обсуждении плана справочника приняли активное участие главные маркшейдеры отраслевых главных управлений Министерства металлургической промышленности Л. В. Ходов, Б. Г. Лишутин, И. А. Силантьев, В. Н. Полоскин, Л. Н. Бляблина, А. П. Шелягин и другие.

Поступившие к нам замечания после их детального обсуждения нашли свое отражение При установлении окончательного плана справочника. Такое решение вопроса о плане и содержании маркшейдерского справочника позволяет надеяться, что маркшейдер шахты сумеет найти в нем ответы на все основные вопросы, которые могут возникнуть в его работе.

Справочник, прежде всего, предназначен для маркшейдеров горнорудной промышленности. Это обстоятельство во многом предопределило его содержание. Независимо от этого многие сведения справочника окажутся полезными маркшейдерам других отраслей горной промышленности.

Справочник выходит в двух частях. В первой части помещеиы общие разделы: математика, теория ошибок и способ наименьших квадратов, теория проекций и др.; даны сведения по геологии к горному делу; большое место уделено описанию инструментов и

16

Предисловие

рассмотрению комплекса маркшейдерско-геодезических работ на поверхности земли.

Вторая часть справочника содержит сведения по «чисто маркшейдерским» видам работ, которыми приходится заниматься маркшейдеру рудной шахты, в частности: ориентировку и съемку подземных горных выработок, съемку открытых горных работ, учет запасов, добычи и потерь и многие другие.

В составлении первой части справочника принимала участие значительная группа научных работников ряда институтов и маркшейдеров-производственников.

Значительная помощь была оказана авторам и редакторам справочника лицами, взявшими на себя труд рецензирования отдельных разделов. В этой связи коллектив авторов и редакторов первой части справочника выражает большую благодарность: члену-корреспонденту Академии наук СССР, профессору доктору технических наук Н. Г. Келль; профессору доктору технических наук лауреату Сталинской премии Е. Ф. Шешко; кандидату физико-математических наук М. М. Эпштейну; доценту кандидату технических наук Н. А. Гусеву; доценту кандидату технических наук Б. Д. Федорову; доценту кандидату технических наук Л. Н. Келль; доценту кандидату технических наук А. С. Глузбар.

Глубокую благодарность мы приносим также всем лицам, принявшим активное участие в обсуждении предварительного плана настоящего справочника.

Д. ОГЛОБЛИН Т. БУТКЕВИЧ

ГЛАВА ПЕРВАЯ

ВВЕДЕНИЕ

Проф. докт. техн. наук Д. Н. ОГЛОБЛИН

§ 1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАРКШЕЙДЕРСКОЙ СЛУЖБЫ ГОРНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Маркшейдерское бюро шахты, рудника, прииска или карьера открытых горных работ является одним из важнейших производственных участков предприятия, без которого невозможна безопасная и правильная разработка месторождения.

Основные задачи маркшейдера горнорудного предприятия определяются «Положением о маркшейдерской службе на горных предприятиях», утвержденным руководством министерств, имеющих горные предприятия, а также соответствующими разделами Правил технической эксплуатации.

Круг вопросов, которые решаются маркшейдером шахты или карьера, может быть определен следующими основными задачами.

Первая задача — своевременная и полная съемка горных выработок и изображение их на маркшейдерских планах.

Полное и своевременное изображение на планах состояния горных работ и высокое качество этих планов являются основным показателем деятельности маркшейдера горного предприятия. Без своевременно пополненных планов горных выработок невозможно решать никакие вопросы по эксплуатации месторождений.

Наряду с установлением пространственного взаимоотношения горных выработок между собой и изображением их на плане, не менее важно установить соохношение между подземными горными работами и объектами, расположенными на поверхности земли.

При разработке месторождений открытым способом маркшейдер должен снимать и изображать на планах положение горных выработок, основных механизмов, применяемых для разработки месторождения, верхних и нижних бровок уступов, буровые скважины, разведочные, дренажные и водоотливные выработки, главнейшие транспортные пути и др.

Выполняемая маркшейдером работа по съемке горных работ важна не только для разрешения текущих задач. Не меньшее значение она может иметь спустя много десятков и даже сотен лет,

2 Заказ 2352

18

Введение

Проф. И. М. Бахурин в своей работе [1, стр. 12] писал: «Составитель плана (маркшейдерского — Д. О.) должен помнить, что он является ответственным за свою работу не только перед настоящим, но и перед будущим поколением». Каждый маркшейдер должен помнить, что от точной и своевременной маркшейдерской съемки горных выработок часто зависит безопасность людей, работающих под землей.

Вторая задача — решение многочисленных геометрических задач, возникающих при строительстве и текущей деятельности горнорудного предприятия. При строительстве шахты или карьера маркшейдер должен перенести в натуру запроектированные геометрические элементы горных выработок, указать место и ориентировку установки механизмов и сооружений, разбить в натуре оси транспортных путей и т. д. Все эти работы базируются на геометрических измерениях и построениях, осуществляемых на основании маркшейдерской съемки.

Третья задала — изучение геометрии формы залегания полезного ископаемого и пространственного распределения его свойств.

Рудные залежи обычно имеют неправильную форму. Мощность и элементы залегания рудных тел часто меняются в широких пре делах. В этих условиях знание геометрии формы залегания полезного ископаемого и изображение ее на соответствующих графиках необходимо для решения ряда важнейших вопросов разработки месторождения, как, например, подсчет запасов, составление проектных планов развития горных работ, учет потерь руды и т. д.

Для полной характеристики месторождения важно изучить и изобразить на графиках геометрию распределения свойств полезного ископаемого. Так, при разработке железорудных месторождений необходимо знать, как изменяется в рудном теле содержание железа, серы, фосфора. При разработке полиметаллических рул важно знать геометрию распределения меди, золота, серы, серебра и других полезных компонентов. Эксплуатация россыпного месторождения золота или платины требует знания геометрии распределения этих металлов в толще песков россыпи.

Для каждого разрабатываемого месторождения должно быть установлено наименьшее промышленное содержание полезного компонента и оконтурен объем, подлежащий разработке.

Нередко требуется обеспечить постоянство качества руды, выдаваемой шахтой, так как резкие колебания в содержании составляющих компонентов осложняют технологию переработки руды.

Четвертая задача — систематический контроль над наиболее полным и рациональным использованием разрабатываемого месторождения, т. е. охрана недр Выполнение этой задачи является важнейшим государственным делом. Охраняя недра, маркшейдер защищает интересы государства.

Регулярно производя съемку горных работ и контуров залегания полезного ископаемого, маркшейдер получает необходимые данные о полноте извлечения полезного ископаемого. При этом важно не только устанавливать наличие потерь, но и своевременно их предупреждать.

Основные задачи маркшейдерской службы 19

Маркшейдер обязан следить за соблюдением очередности выемки отдельных рудных тел, этажей, блоков, учитывать количество отбитой и фактически выпущенной из блока руды.

Потери можно уменьшить, если маркшейдер правильно решает вопросы о расположении капитальных сооружений, требующих оставления предохранительных целиков.

Значительные количества полезного ископаемого остаются в междукамерных целиках, потолочинах и целиках у основных горных выработок. Учитывая это, маркшейдер обязан следить за тем, чтобы целики оставлялись только точно по проекту. При погашении горных выработок все целики должны быть извлечены с наибольшей полнотой.

Пятая задача — участие в составлении квартальных, годовых и перспективных планов развития горных работ.

В нашей стране в условиях планового социалистического хозяйства производственная деятельность горного предприятия ведется по утвержденному плану развития горных работ.

Сличая с проектными планами фактическое состояние горных работ шахты или карьера, маркшейдер следит за выполнением проекта, не допускает ведения горных работ, не предусмотренных проектом.

При составлении проектных планов должна быть соблюдена необходимая очередность разработки отдельных участков и горизонтов, учтены другие вопросы правильной разработки месторождения. Составляя проектный план горных работ, маркшейдер дол, жен. следить, чтобы добыча руды планировалась не только из камер, но и из междублоковых целиков, потолочин и днищ. В рав ной мере маркшейдер должен предусмотреть специальные горные работы по ликвидации подземных пустот.

Шестая задача — контроль над правильным проведением горных выработок, их направлением, профилем и др.

Маркшейдер должен своевременно указывать горнякам в натуре запроектированные направления и размеры горных выработок и в дальнейшем обеспечивать систематический контроль за их соблюдением.

Задание направлений горных выработок я контроль за их проведением нередко представляют очень кропотливую маркшейдерскую работу.

Умзнынение проектного сечения выработки, а также изменение уклона или направления, почему-либо допущенные при ее проведении, могут привести к тому, что эту выработку окажется невозможным использовать для намеченных целей.

Седьмая задача — учет и анализ движения запасов, потерь и добычи полезного ископаемого. Маркшейдер по результатам произведенных съемок наносит на планы и разрезы горные выработки и уточняет форму залегания полезного ископаемого, а затем подсчитывает по этим планам и разрезам запасы, разбивая их по группам в зависимости от степени подготовленности к добыче (вскрытые, подготовленные, готовые к выемке и т. д.).

Такой учет дает полную картину состояния запасов полезного ископаемого в недрах по степени готовности к добыче.

2*

20

Введение

При подсчете запасов полезного ископаемого одновременно определяют потери и разубоживание руды.

Учет добычи полезного ископаемого маркшейдер ведет для контроля ежесменного оперативного учета, выполняемого техническим персоналом шахты более упрощенным способом.

Одновременно с этим маркшейдер определяет остатки полезного ископаемого на складах, с помощью чего контролирует учет добытого за месяц полезного ископаемого в целом по шахте или карьеру.

Работы маркшейдера по учету добычи и остатков руды очень ответственны, так как связаны с большими материальными ценностями. Маркшейдер должен помнить, что, выполняя эти работы, он осуществляет функции государственного контроля и защищает интересы государства.

Восьмая задача — изучение процесса сдвижения горных пород над выработанным пространством и определение мер охраны сооружений на поверхности земли и капитальных горных выработок от разрушений.

Маркшейдер обязан определить, для каких сооружений и горных выработок потребуется оставлять предохранительные целики, рассчитать нгобходимые и достаточные размеры целиков для каждого охраняемого объекта.

Чтобы умело и обоснованно решить задачу построения предохранительных целиков, маркшейдер должен изучить характер процесса сдвижения в конкретных условиях разрабатываемого месторождения.

Индивидуальность процесса сдвижения горных пород в условиях отдельных горных предприятий затрудняет возможность распространения аналогии в этом вопросе.

Наряду с построением предохранительных целиков маркшейдеру приходится решать обратную задачу, т. е. определять на поверхности земли место для сооружения тех или иных объектов, вне зоны сдвижения горных пород "над существующими или возможными в будущем горными работами или с оставлением целиков возможно меньших размеров.

Перечисленные восемь задач не охватывают всего комплекса маркшейдерских работ, но являются главными, определяющими производственные функции маркшейдера горного предприятия.

§ 2. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МАРКШЕЙДЕРСКОГО ДЕЛА В РОССИИ

Маркшейдерия как отрасль горного дела возникла с момента ведения человеком подземных горных работ. Археологическими раскопками установлено, что еще 1400—1600 лет до нашего летоисчисления люди умели строить уменьшенное масштабное изображение горных работ.

Герон старший, живший за 200 лет до нашей эры, дал первое дошедшее до наших дней описание способа подземной съемки и ее ориентирования.

История развития маркшейдерского дела в России

21

Раскопки «чудских ям» на Южном Урале, в Казахстане и в Сибири подтверждают уменье людей, живших на этих территориях за 50—100 лет до нашей эры, вести подземные горные работы и строить их изображение, ориентированное относительно земной поверхности.

Стремительное развитие получило горное дело в России во времена Петра I. В проекте заводского устава крупнейшего деятеля горнозаводского дела России эпохи Петра I В. Н. Татищева, опубликованного в 1743 г.. даются четкие указания об обязанностях маркшейдера горного управления:

а) иметь плоские разрезные чертежи каждой рудокопи, с показанием на них условий залегания и всех особенностей разработки рудника и своевременно пополнять их новыми работами;

б) пополнять и исправлять общие карты данного округа по правилам, изложенным в особой инструкции от Академии наук, куда и должны представляться копии готовых карт целого уезда или провинции».

С самого начала развития горного дела в России на маркшейдеров смотрели как на наиболее образованных людей, всесторонне знающих горное дело. В Заводском уставе В. Н. Татищева о маркшейдере сказано:

«Сей должен быть человек в горных и тому потребных науках довольно искуссный, а к тому верный и прилежный; ему подчинены в особливое смотрение горные межевики, лесные надзиратели, геодезисты и школ учителя».

Первой обстоятельной печатной работой в области маркшейдерского дела был труд гениального М. В. Ломоносова «О измерении рудников», являющийся частью его известного сочинения «Первые основания мэталлургии или рудных дел», законченный dвтором в 1742 г. В 1934 г. Академия наук СССР издала полное собрание сочинений М. В. Ломоносова, в восьмом томе которого опубликованы «Первые основания металлургии или рудных дел».

В главе «О измерении рудников» М. В. Ломоносов рассмотрел все основные для того времени вопросы маркшейдерского дела. М. В. Ломоносов дает в ней описание инструментов для подземной съемки: висячей буссоли (рис. 1), висячего квадранта (рис. 2), шнура, мерного жезла, чертежных принадлежностей (масштаба, линейки, циркуля) и подробное объяснение решения характерных задач горного дела (отыскание на поверхности земли места заложения вертикального ствола шахты, которая должна попасть на конец ранее пройденной штольни, такая же задача, но уже с учетом негоризонтальности штольни и рельефа местности (рис. 3) и др.).

Разработанная М. В. Ломоносовым методика съемки горных работ висячими инструментами и составления маркшейдерских планов нашла широкое применение в работе многих талантливых русских маркшейдеров, имена которых до сих пор не удалось уста*

22

Введение

новить. Образцы этих работ сохранились в архивах старейших рудников нашей страны.

Непревзойденные по качеству и полноте маркшейдерские съемки горных работ и планы их были выполнены на Березовских

М. В. Ломоносов (1711—1765)

золотых приисках. Здесь сохранилось около 15 тыс. маркшейдерских планов, большая половина которых составлена в период с 1745 по 1860 г. Подробное описание этих планов приведено в книге [2]. На всей площади месторождения (56 кв. верст) была создана своеобразная триангуляция в виде сетки правильных одноверстных квадратов. Наличие такой основы позволило маркшейдерам Березовска составлять планы многих сотен шахт, принадлежавших разным владельцам, в единой системе координат.

Столь же содержательные планы сохранились и по другим рудникам. Большую роль в их изучении могут сыграть исследова-

Рис. 2. Висячий квадрант М. В. Ломоносова

24

Введение

ния архивов рудников, которые должны выполнить сейчас маркшейдеры-производственники.

Работы М. В. Ломоносова были продолжены А И. Максимовичем, приглашенным в 1802 г. для преподавания в Петербургском горном училище. В 1805 г. вышел учебник А. И. Максимовича «Практическая подземная геометрия», в котором были .расширены

Рис. 3. Решение М. В. Ломоносова задачи об определении на поверхности места заложения шахты

и углублены методы съемки горных работ висячими инструментами.

В середине XIX в. в маркшейдерском деле взамен примитивных висячих инструментов впервые стали применять теодолит и нивелир. Для составления планов горных работ и решения горногеометрических задач широкое применение находят формулы и методы аналитической геометрии.

До недавнего времени в литературе указывалось, что приоритет применения в маркшейдерском деле теодолита принадлежит немцу Вейсбаху, опубликовавшему в 1851 г. книгу «Новое маркшейдерское искусство». В последнее время неоспоримо установлено, что еще в 1847 г. русский ученый П. А. Олышев опубликовал капитальный труд «Маркшейдерское искусство», в котором изложил все то, что несправедливо приписывалось немецкому маркшейдеру Вейсбаху. Таким образом, не Вейсбах, а русский маркшейдер П. А. Олышев являзтея создателем новой, научной маркшейдерии.

Заслуженный профессор, член Горного совета и Горного ученого комитета Петр Алексеевич Олышев (1817—1896) с 1840 по 1870 г. преподавал маркшейдерское и горное искусство в Петербургском институте.

В работе П. А. Олышева дано подробное описание теодолита с внецентренной трубой и нивелира для подземных съемок. Олы-шевым разработана методика вычисления координат пунктов подземной съемки и решения важнейших задач по проведению выработок встречными забоями с использованием формул аналитической геометрии. Таким образом, П. А. Олышеву принадлежит приоритет применения в маркщейдерском деле;

История развития маркшейдерского дела в России

25

а) теодолита и нивелира взамен висячей буссоли;

б) составления планов по координатам взамен накладки по азимутам;

в) аналитической геометрии взамен элементарных формул тригонометрии.

Г. А. Тиме (1831—1910)

Положения П. А. Олышева были далее развиты Георгием Ав-густовичем Тиме (1831—1910), заслуженным профессором Петербургского института. Он первый обратил внимание на крупные недостатки в постановке маркшейдерского дела в России, заключавшиеся в разобщенности съемок отдельных рудников и шахт и отсутствии контроля над состоянием маркшейдерской службы частных горных предприятий.

В 1872 г. Г. А. Тиме опубликовал в «Горном журнале» ряд работ «О производстве и вычислении маркшзйдерских триангуляции»,

26

Введение

в которых дал научное обоснование для постановки маркшейдерской службы горнопромышленного района. В последующих работах Тиме, опубликованных в «Горном журнале» (1883—1884) или изданных отдельными книжками (1890), были разработаны геометрические способы ориентирования подземной съемки, определения

В. И. Бауман (1867—1923)

астрономического меридиана для маркшейдерской съемки и другие. Работы Тиме способствовали повышению уровня знаний русских маркшейдеров, улучшению маркшейдерского дела на шахтах и рудниках.

Маркшейдерская служба горных предприятий переживала в то время большие затруднения. Причина их заключалась в бесправном, зависимом от владельцев предприятий, положении маркшейдеров. Назрела необходимость коренной реформы маркшейдерского дела в России. В этом деле исключительно велика роль

История развития маркшейдерского дела в России

27

профессоров В. И. Баумана, П. М. Леонтовского и П. К. Соболевского.

Профессор Петербургского горного института Владимир Иванович Бауман (1867—1923) опубликовал свои научные труды в книгах: 1) «О выборе системы координат для маркшейдерских карт и планов», 1887 г.; 2) «Курс маркшейдерского искусства» в трех томах, 1905 г.; 3) «К вопросу об определении запасов месторождений», Горный журнал, т. IV, 1908 г.; 4) «К вопросу о сбросах, сдвигах и других смещениях жил и пластов», Записки горного института, т. I, вып. I, 1907 г.

В своих работах проф. В. И. Бауман охватил все основные вопросы маркшейдерского дела. Предложенная им классификация смещений, способы подсчета запасов угольных месторождений и решения других вопросов маркшейдерского дела с успехом применяются и в настоящее время. Известны работы В. И. Баумана по магнитометрии, положившие начало широкому применению в России геофизических методов разведки полезных ископаемых.

Производственная деятельность В. И. Баумана, которую он успешно сочетал с научно-педагогической работой, протекала, главным образом, в Донбассе. Здесь В. И. Бауман создал первую в России единую триангуляцию крупнейшего горнопромышленного района.

Большое значение имели работы В. И. Баумана по проверке качества маркшейдерских съемок. В. И. Бауман подготовил реформу маркшейдерского дела в России, в которой намечалось:

1) введение единой системы координат для маркшейдерских съемок и планов отдельных горнопромышленных районов;

2) изменение структуры маркшейдерской службы с целью повышения роли и ответственности «присяжных» маркшейдеров-производственников;

3) создание «института правительственных маркшейдеров», которые должны контролировать присяжных маокшейдеров и прово дить маркшейдерские работы, имеющие общее значение для ря да смежных горных предприятий;

4) разработка новой технической инструкции по производств? маркшейдерских работ.

По инициативе и под руководством В. И. Баумана были созваны два маркшейдерских съезда: Первый Всероссийский съезд маркшейдеров (1913 г. в Петербурге), Второй Всероссийский маркшейдерский съезд (1921 г. в Петрограде).

Проф. В. И. Бауман является основателем маркшейдерской специальности при Ленинградском горном институте.

Петр Михайлович Леонтовский (1871—1921). В 1903 г. начал научно-педагогическую работу в Екатеринославском высшем горном училище (ныне Днепропетровском горном институте). В 1906 г. защитил диссертацию на тему «Практическое применение теория случайных ошибок непосредственных наблюдений». С 1906 по 1921 г. — профессор Екатеринославского высшего горного училища.

Леонтовский оххублвдкжал в печати около 40 работ. Среди них выделяются монографии: по сдвижению горных пород над выра-

28

Введение

ботанным пространством и по классификации скрещений и смещений. Леонтовский явился инициатором и основоположником широкого и всестороннего изучения процесса сдвижения горных пород. Им было создано «правило Леонтовского» для расчета предохранительных целиков.

П. М. Леонтовский (1871—1921)

Леонтовский был изобретателем-новатором в области маркшейдерского дела Впервые в мире он создал нивэлир-автомат и предложил новый, двухзеркальный способ примыкания к отвесам.

Леонтовский создал «Общество маркшейдеров Южной России», сыгравшее положительную роль в развитии маркшейдерского дела. Под редакцией Леонтовского с 1910 г. выходил журнал «Маркшейдерские известия».

П. М. Леонтовский создал маркшейдерскую специальность в Бкатеринославском высшем горном училище.

История развития маркшейдерского дела в России

29

Петр Константинович Соболевский (1868—1949). В 1898 г. окончил Петербургский горный институт. В 1901—1903 гг. работал в Донецком бассейне и на педагогической работе в Екатеринослав-ском высшем горном училище. В 1903 г. перешел на работу в

П. К. Соболевский (1868—1949)

Томский технологический институт профессором и в 1904 г. организовал в нем первую в России маркшейдерскую специальность. С 1921 по 1933 г. Соболевский работал в Свердловском горном институте, где в 1929 г. также создал маркшейдерскую специальность. В 1933 г. Соболевский перешел на работу в Москву, где с 1937 г. до конца своей жизни заведывал кафедрой маркшейдерского дела Московского торного института.

Проф. П. К. Соболевский — основоположник новой научной дисциплины, именуемой им «геометрия недр». В своих работах

30

Введение

П. К- Соболевский разработал теоретическую и практическую сторону вопроса о геометризации формы и свойств месторождений полезных ископаемых.

Основные положения геометрии педр были разработаны Соболевским еще до 1917 г. Наибольшее развитие идеи Соболевскою полечили после Великой Октябрьской социалистической революции, особенно в годы первых пятилеток.

Работами Баумана, Леонтовского и Соболевского, а также многочисленных маркшейдеров-производственников была создана научная основа для успешного развития передовой советской маркшейдерии.

§ 3. ОСНОВНЫЕ МОМЕНТЫ РАЗВИТИЯ СОВЕТСКОЙ МАРКШЕЙДЕРИИ

Великая Октябрьская социалистическая революция дала начало новой, советской маркшейдерии. В результате национализации горных предприятий, ликвидации частной собственности на недра были устранены основные причины, мешавшие развитию нашей отечественной маркшейдерии.

Разруха промышленности, вызванная войной 1914—1918 гг.,

следство. Шахты были затоплены. Маркшейдерские планы горных работ утрачены или похищены бывшими владельцами шахт.

Первой важнейшей задачей советских маркшейдеров явилось восстановление маркшейдерской документации действующих и затопленных шахт.

Итоги работ по восстановлению маркшейдерской службы, а также определение ее задач и путей развития были обсуждены на Втором Всероссийском маркшейдерском съезде, который состоялся в октябре 19(21 г. в Петрограде, В работе съезда участвовало .73 делегата. Съезд провел 25 пленарных заседаний, на ко торых заслушал и обсудил доклад В. И. Баумана о реформе маркшейдерского дела, а также ряд научных докладов, в том числе доклады П. К. Соболевского о геометрия недр.

Постановлением ВЦИК и СНК от 8 апрели 1922 г. были утверждены решения съезда о реорганизации маркшейдерского дела.

Во исполнение этого постановления были изданы: «Положение о производстве маркшейдерских работ в горных округах», «Инструкция для окружных маркшейдеров», «Инструкция о производстве маркшейдерских работ в горных округах в Советском Союзе».

Созданный институт окружных маркшейдеров провел большие работы. В Донбассе была расширена триангуляция В. И. Баумана. В 1924—1926 гг. проф. Ф. Ф. Павлов создал уральскую маркшейдерскую триангуляцию II класса, охватившую большую группу рудников Среднего Урала. В 1918—1925 гг. проф. Н. Г. Келль провел большие работы по созданию триангуляции Кузнецкого бассейна. В этой триангуляции Н. Г. Келлъ впервые применил плоские конформные прямоугольные координаты. Эта система координат принята теперь в СССР как общегосударственная.

а также гражданская война

тяжелое на

Основные моменты развития советской маркшейдерии

31

В 1925—1927 гг. прошли районные съезды маркшейдеров: Юга России в Харькове (1925 г.), Урала и Башкирии в Свердловске (1925 г.), Сибири и Дальнего Востока в Томске (1927 г.).

На основе теории проф. П. К. Соболевского были проведены большие работы по геометризации месторождений (Кизел, Челябинск, Магнитная и др.). В процессе выполнения этих работ сложилась и окрепла новая научная дисциплина — геометрия недр, успешно развиваемая школой учеников проф. П. К. Соболевского (проф. докт. П. А. Рыжов; доц. канд. техн. наук Г. И. Вилесов; доц. канд. техн. наук А. А. Трофимов и др.).

В 1928 г. была создана Постоянная маркшейдерская комиссия научно-технического совета горной промышленности ВСНХ. Во главе этой комиссии стоял проф. докт. техн. наук И. М. Бахурин и его помощник А. И. Дисман.

Иван Михайлович Бахурин (1880—1940) в 1901 г. поступил в Петербургский университет» из которого был исключен за участие «в студенческих беспорядках» и выслан из Петербурга. В 1909 г. окончил Петербургский горный институт. С 1909 но 1921 г. И. М. Бахурин работает ассистентом и ближайшим помощником В. И. Баумана, после смерти которого в 1921 г. избран профессором маркшейдерского дела Ленинградского горного института. В 1939 г. И. М. Бахурин был избран чл.-корр. АН СССР.

И. М. Бахурин — автор крупнейших работ по маркшейдерскому делу. Созданный им специальный курс маркшейдерского дела является капитальным трудом, освещающим важнейшие вопросы теории и практики маркшейдерского дела. Велика и почетна работа И. М. Бахурина в области вопросов изучения процесса сдвижения горных пород над выработанным пространством. Его монография «Сдвижение горных пород под влиянием горных разработок» освещает все стороны этого сложнейшего вопроса горного дела, а исследования погрешностей измерений и их накопления при подземной съемке до сих пор являются основными руководящими материалами при решении многих задач маркшейдерского дела.

И. М. Бахурин был крупнейшим организатором и общепризнан ным руководителем всего коллектива советских маркшейдеров. Под его руководством работала постоянная маркшейдерская комиссия, сыгравшая большую роль в создании советской маркшейдерии. Из числа учеников И. М. Бахурина выросли крупные научные работники (проф. докт. техн. наук С. Г. Авершин, проф. докт. техн. наук Д. А. Казаковский и др.).

Проф. И. М. Бахурин совместно с А. И. Дисманом подготовил и провел Первый Всесоюзный маркшейдерский съезд.

Первый Всесоюзный маркшейдерский съезд состоялся в Ленинграде в 1932 г. Работой съезда руководил И. М. Бахурин. На съезде присутствовало 350 человек. Главным вопросом, обсуждавшимся на съезде, был вопрос о значения и характере маркшейдерской службы социалистических торных предприятий. В решениях съезда было указано: «Правильное, безопасное и экономное ведение горных разработок, рапяональноЪ их проектированиз, охрана недр, борьба с потерями, учет запасов о

32

Введение

их движения, охрана поверхностных сооружений от повреждений и разрушений вследствие горных разработок, правильная постановка разведок, решение некоторых вопросов общей геологии — все эти задачи и вопросы не могут найти правильного разрешения без четко поставленной маркшейдерской службы».

И. М. Бахурин (1880—1940)

Съезд наметил две организационные формы построения маркшейдерской службы: а) маркшейдерское бюро горного предприятия; б) специальная маркшейдерская организация (Союзмаркш-трест), ведущая работы для предприятий на договорных началах.

Съезд обсудил и одобрил доклады П. А. Рыжова, Д. Н. Ог-д^блина и Г. И. Вилесова о геометризации ряда уральских Месторождений и принял решение о необходимости создания ^научно-исследовательского маркшейдерского института и завода маркшейдерских инструментов.

Основные моменты развития советской маркшейдерии

33

Большое значение в устранении имеющихся недостатков маркшейдерской службы имел приказ № 276 народного комиссара тяжелой промышленности от 28 июля 1938 г. На основе этого приказа были изданы: положения о маркшейдерской службе и маркшейдерском контроле, новая техническая инструкция, временные правила охраны сооружений Донецкого и Подмосковного бассейнов.

Всесоюзный научно-исследовательский маркшейдерский институт (ВНИМИ) был создан на основе решений первого маркшейдерского съезда в 1932 г. в форме Центрального научно-исследовательского маркшейдерского бюро (ЦНИМБ). В 1945 г ЦНИМБ реорганизован во ВНИМИ.

ВНИМИ ведет научно-исследовательские работы в четырех основных направлениях: 1) по методике и технике маркшейдерского дела; 2) по сдвижению горных пород и земной поверхности под влиянием горных разработок; 3) по горному давлению; 4) по маркшгйдерскому инструментарию.

Проведенные обширные работы по изучэнию процесса сдвижения в Донбассе, Кузбассе, Караганде, Кизеле и других районах дали возможность ВНИМИ разработать правила охраны сооружений в этих районах. На основе обобщения имеющегося материала проф. С. Г. Авершин создал теорию сдвижений, позволившую впервые подойти к расчету элементов сдвижения поверхности. Эта работа проф. С. Г. Авершина удостоена Сталинской премии.

ВНИМИ создал ряд* производственных инструкций в области методики маркшейдерского дела. В 1950 г. утверждена инструкция по маркшейдерским съемкам при подземной разработке угольных и сланцевых месторождений, в 1952 г. — по маркшейдерским работам при шахтном строительстве и т. д. Крупных успехов добился ВНИМИ (канд. техн. наук В. П. Лавров) в разработке методов и приборов гироскопического ориентирования подземной съемки. Эта работа также удостоена Сталинской премии в 1952 г. Инструментальный отдел ВНИМИ (канд. техн. наук

B. Д. Радкевич) создал ряд новых маркшейдерских инструментов (оптический проектор, профилограф, горный теодолит-тахеометр и др.).

ВНИМИ имеет отделения: Донецкое (г. Сталино), Уральское (г. Свердловск). Карагандинское (г. Караганда,) Кузнецкое (г. Прокопьевск). Научной работой ВНИМИ руководит ближайший помощник и ученик И. М. Бахурина проф. докт. техн. наук

C. Г. Авершин. В работе ВНИМИ принимают участие проф. докт. техн. наук Д. А. Казаковский, Б. И. Никифоров, чл.-корр АН СССР Н. Г. Келль и др.

Улучшению маркшейдерской службы горных предприятий во многом способствовал коллектив Харьковского завода маркшейдерских инструментов. Завод создал новые типы горных теодолитов, нивелиров и других инструментов, широко используемых маркшейдерами шахт.

Широкое развитие в последние годы открытых способов разработки месторождений заставило маркшейдеров разработать

3 Закав 2352

34

Введение

новые методы съемки и решения особых задач, присущих этому виду горных работ. Советская маркшейдерия успешно справилась с этой новой задачей. Канд. техн. наук М. Л. Рудаков и канд. техн. наук М. А. Перегудов создали обобщающие труды по маркшейдерскому обслуживанию открытых горных работ.

Большим событием в развитии советской маркшейдерии явилось создание в 1948 г. по инициативе товарища Сталина Главного управления государственного горного надзора и в его составе службы маркшейдерского контроля.

Успешное развитие советской маркшейдерии было обеспечено большой работой по подготовке новых инженерно-технических кадров.

Наша советская маркшейдерия далеко обогнала маркшейдерию капиталистических стран по всем вопросам теории и практики маркшейдерского дела. Однако было бы ошибкой считать, что советскими маркшейдерами сделано все необходимое в своей области. Предстоит сделать еще очень многое.

ЛИТЕРАТУРА

1. С. Г. Авершин, Профессор Иван Михайлович Бахурин и советская маркшейдерия, Труды ВНИМИ, Сб. XXII, 1950.

2. И. М. Бахурин, Вопросы маркшейдерского искусства, М. 1936.

3. Г. И. В иле сов. Основоположник геометрии недр П. К. Соболевский, Металлургиздат, 1950.

4. А. А. И г о ш и и, Маркшейдерские работы при строительстве шахт, М., 1951.

5. Д. Н. Оглоблин, Маркшейдерские работы при подземной разработке месторождений, ч. 1. М., 1950.

6. М. А. Перегудов, Маркшейдерская съемка открытых разработок, М., 1950.

7. М. Л. Рудаков, Маркшейдерские работы при открытых разработках, Свердловск, 1950.

8. П. А. Р ы ж о в, Из истории развития горно-геометрических работ, М., 1950.

9. И. Н. У ш а к о в, Горная геометрия. М., 1951.

ГЛАВА ВТОРАЯ

МАТЕМАТИКА

доц. канд. физ.-матем. наук Г. С. АБРАМОВ и проф. докт. техн. наук Д. Н. О ГЛ О БЛИН

§ 4. АЛГЕБРА 1. Степень

ап = а а а . . . а (п раз); (abf => a* bk ; п m n+m ( а \* ак

аа =а 5 (т) =7;

(an)m = апт; ат :ат = а° = 1;

m п—т —т 1

ап:ат = а ; а = —.

ат

Формулы сокращенного умножения и деления

(а±b)* = a*±2ab + Ъ*\ (a + b + c)* = a* + b2 + c2 + 2аЬ + 2ас + 2Ьс; (а ± Ь)* = а» ± 3a2b + 3ab2 ± Ь* (a + b) (a — b) = a* — b*.

3. Бином Ньютона

Математика

4. Пропорции

Если — = — , то ad = be b d

j.___b_ m jl___c_ u _b___d_

с d b а а с Производные пропорции

a±b c±d a±b c±d a + b c + d

b d а с a — b c — d .

5. Действия с корнями

Корень четной степени из положительного подкоренного количества имеет два значения: положительное я отрицательное. Корень четной степени из отрицательного подкоренного количества имеет мнимое значение. Корень нечетной степени имезт знак подкоренного количества.

я 1 я я я я_

У~а~=ап; УаТс = У~а'У~ь'У^с~;

. m

я nk _ я _ - —я_ я_

Я _

У ап

cVT = Va.c"; \ГТ • V a = /"а+т;

я _ т _ я _ я_

/т_ , / п _ nw_ , / а У~а Уа=]/ Va-Va; \ Т= "

К*

± У~ь = + & + 2

6. Уравнения и их решение

Уравнение первой степени или линейное

ах + Ь = 0; х = — — .

а

Уравнение второй степени или квадратное

ах* + Ьх + с = О или х* + рх + q = 0;

— b±V b2—4ac 9 __J_

*i,2 = 2а ' Xi.*~" 2 ±

Алгебра

Свойство корней квадратного уравнения

Ь с

*i + *2 = — — = — Р\ *i • х2 = — q. а а

7. Графическое решение уравнения f(x) =0 Вычерчивают в избранном масштабе кривую у = f(x) по предварительно вычисленным координатам некоторых точек этой кривой. Абсциссы точек пересечения кривой с осью XX представляют действительные корни уравнения.

Пример. Графическое изображение уравнения

х8 — 4х« — 2х+ 12 = 0

построено на рис. 4. Кривая5 пересекает ось абсцисс в трех точках, следовательно исследуемое уравнение имеет три кбрня;

38

Математика

Иногда уравнение f(*) = 0 удобно изобразить в виде U(x) = = f2(*).

Построив графическое изображение обеих функций у = f 1 (х) и |у =f2(x)f находят по точкам пересечения искомые значения корней уравнения.

Пример. Уравнение х* — х — 0,2 = 0. Перепишем его в виде х* = х + 0,2. Построив кривые у =х* и у = х + 0,2, находим три точки пересечения их. Отсюда

— 0,9; х2« —0,2; х8»1.

8. Прогрессии

Арифметическая прогрессия. Формулы для нахождения любого члзна и суммы членов арифметической прогрессии:

<tn = <t1+d(n — 1);

Sn- 2 п,

а\ — первый член прогрессии; d — ее разность; i

п —номер искомого члена прогрессии; $п—сумма п членов прогрессии.

Геометрическая прогрессия. Формулы для нахождения любого члена и суммы членов геометричэской прогрессии:

я-1

ап = axq ;

Sn" «-1 '

Обозначения те же, что и выше; q — знаменатель прогрессии.

9. Соединения

Размещения. Число возможных размещений из л различных элементов по тп

А™ = л (л — 1) (л — 2) . . .(л-ш+1)= {п^т)] -

Перестановки. Число возможных перестановок из л элементов Рп = 1 • 2 • 3 . . . л = л!

Сочетания. Число возможных сочетаний из л различных элементов по тп

ст=з л(л-1)(л-2) . . . (л~т + 1) = К л!

п 123.../л Рт т!(л —т)!

Логарифмы

39

С* = л; Спп=\.

Основное свойство сочетаний

10. Формулы некоторых часто встречающихся сумм

л(л + 1)

1+2 + 3 +

+ л = -

1 + 3 + 5 + . . . + (2л — 1) = л*; 2 + 4 + 6+ . . .+ (2л — 2) + 2л = л(л+ 1);

л(л+1)(2л+1)

I2 + 22 + 32 +

+ ла =

1. + 2» + Зз+...+лз = [^^

л(2л+ l)(2/i— 1)

1* + 3* + 5а+ . . .+ (2л— 1)2 =

1» + 3» + 5» +

+ (2л — !)« = л*(2ла — 1).

§ 5. ЛОГАРИФМЫ

1. Общие сведения

Логарифмом х числа N по основанию а называют показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число.

Логарифмы, в которых за основание принято 10, называют десятичными, или обыкновенными и обозначают знаком lg. Логарифмы произведения, дроби, степени и корня

lg а • Ь • с = lg а + lg Ь + lg с; lg-|- = lg a—lg b, lg аь =« Ь • lg а; ь \ga

Все положительные числа имеют логарифмы, состоящие из целого числа, называемого характеристикой, н правильной дроби, называемой мантиссой.

Характеристика может быть положительной или отрицательной. Мантисса всегда положительна. ^4

40

Математика

2. Правила определения характеристики логарифма

Характеристика логарифма целого или смешанного числа содержит столько положительных единиц, сколько цифр содержится в целой части числа без одной.

Характеристика логарифма десятичной дроби, меньшей 1, содержит столько отрицательных единиц, сколько нулей содержится перед первой значащей цифрой дроби, считая нуль перед запятой. Например:

lg 568370 имеет характеристику .... 5 lg 1,268 » » .... 0

lg 0,249 » » .... —I

lg 0,012 » » ... .—2

Отрицательную характеристику обозначают знаком сминус» над цифрой, а часто заменяют положительной, прибавляя к ней число 1СХ_ Например, для логарифма десятичной дроби 0,001

вместо 3,00000 пишут 7,00000, для lg 0,0008 вместо 4,90309 пишут 6,90309.

3. Логарифмы отрицательных чисел

Отрицательные числа не имеют логарифмов. При действиях с ними находят логарифм числа, не обращая внимания на знак минус, и справа от логарифма подписывают условный знак л (негатив).

lg (—71,328) = 1,85326 л. Сумма или разность двух знаков л уничтожает их.

4. Действия с логарифмами

При сложении и вычитании логарифмов с отрицательными характеристиками обязательно учитывают их знак.

При умножении логарифма с отрицательной характеристикой мантиссу и характеристику умножают отдельно и складывают результат. Например: _

2,47351 * X 34

1 89404 14 2053

16,09934

"68_

52,09934

При делении логарифма с отрицательной характеристикой прибавляют к характеристике столько отрицательных единиц.

Определители (детерминанты)

41

сколько нужно, чтобы она разделилась на делитель, а к мантиссе прибавляют столько же положительных единиц.

Г,46831 : 3 = (—3 + 2,46831 : 3) =1,82277.

В маркшейдерской практике применяют следующие таблицы логарифмов:

I.E. Пржевальский. Пятизначные таблицы логарифмов.

2. Георг Вега. Таблицы семизначных логарифмов.

3. Д. Н. Оглоблин. Пятизначные таблицы логарифмов для маркшейдеров.

5. Натуральные логарифмы

В основании натуральных логарифмов лежит число « = 2,7182818 . . . е = Hm ^1 "^"""j при л, стремящемся к бесконечности.

Натуральные логарифмы обозначают знаком In. Между десятичными и натуральными логарифмами существует зависимость

lg N = М • In N; In N = -77 lg N;

M

M = 0,43429 — модуль натуральных логарифмов;

=2,30259.

М

§ б. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (ДЕТЕРМИНАНТЫ)

1. Общие сведения

Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными ахх + Ъху = сг\

получим I I

_ сгЬ% — с2Ьг ^ _ а\С2 — а2сг

Соотношения, написанные в числителе и знаменателе, называют определителями второго порядка, a a\t аг, Ьи 62, с\, с2 их элементами. Определители второго порядка принято записывать в виде:

42

Математика

ахЬх й2Ь2

а2с2 = — Ьхс2 + схЬ2

= аус2 — aa^i

Ь2с2

Для разложения определителя второго порядка вычитают из произведения элементов, лежащих на главной диагонали, произведения элементов, расположенных на другой диагонали.

4 7 3(-6J

= 4(_6)-3 • 7 = —45.

2. Определитель третьего порядка

Определитель, расположенный в трех строках и трех столбцах, называют определителем третьего порядка.

а2Ь2с2\ a9b9cs

*i (Vs — Ь2с%) — а2 (Ь^з — 63Ci) + Яз (М2 — cfa).

Опредглитель третьего порядка может быть разложен по любому столбцу или строке.

а2Ь2с2 а9Ь2с9

а2Ь2с2

Определители (детерминанты)

43

3. Определитель п-то порядка Определитель л-го порядка состоит из п строк и п столб-

цов:

D =

#n#i2#i8

#21*22*28 #31*32*88

•*1Л •*2Л •#3л

а а а . . . а

П± П2 п3 П

а — элементы определителя, первый индекс—' номер горизонтальной строки, второй индекс—номер вертикального столбца.

4. Минор

Минором какого-либо элемента определителя л-го порядка называют определитель (п— 1)-го порядка, получаемый вычеркиванием строки и столбца, в пересечении которых стоит данный элемэнт. Так, например, минором элемента а& определителя л-го порядка будет

#11#12#1* • • -*1Л *21*22#24 • • • #2 л *4i342#44 • • «#4л

#Л1#Л2#«4

5. Разложение определителя л-го порядка

*11*12*18 ■

#21*22*23

#31*32*38

•*1Л •#2Л •*8л

#Л1#Л2#ЛЗ «,.*лл

, 1+1 аиМп + (-1)1+2#1аМ1а + (-1)1+\8М18 + . . . +(— 1)1+Я#1лМ1л-

Afn, 1 Afj2» Afia.....М1л—соответствующие миноры.

44

Математика

Так, например, определитель четвертого порядка разложится

#H#12#i3#l4 #21*22*23*24 *31#82*33*34 *4i*42*43*44

+ *13

= а.

*2 2*23*24 #32*33*34 *42*43*44

*21*22*24 *81*32*84 #41#42#14

— *14

и12

*21*23*24 *31*88*84 *4l*43*44

*21*22*23 *81#82#33 *4i#42#43

6. Свойства определителей

а) Разложение определителя л-го порядка даэт 1 • 2 • 3 • 4... п = л! членов.

б) Если все элементы одного столбца или строки нули, то определитель равен нулю, так как при разложении его по элементам этого столбца или строки все члены будут равны нулю.

в) Если все элементы одного столбца или строки, кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению этого элемента на его минор (с учетом знака).

г) Величина определителя не изменится, если заменить строки столбцами или наоборот

д) От перестановки двух строк (или двух столбцов) определитель меняет знак

Измерение углов

45

е) Если все элементы одного ряда имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

ж) Значение определителя не изменится, если элементы одной строки вычесть из элементов других строк

§ 7. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Градус есть угол, составляющий 1:90 часть прямого угла; 10=60' = 3600".

Град есть угол, составляющий 1 : 100 часть прямого угла Меньшие части угла выражаются десятичной дробью града

1°= 1,111* . . .; 1* = 0,9° = 54';

1' = 0,0185185*; 0,1* = 0,09° - 5'24*;

Г = 0, 0003086*; 0,01* = 0,009° = 32",4.

Таблицы для перехода от градусов к градам и обратно приведены в приложении (табл. XXXIII).

Радиан есть угол, отношение дуги которого к радиусу равно единице. Радиан обозначают буквой р

р° = 57°,295779513; р' = 3437', 7467708;

р* = 206264*,80625

Переход от градусной меры (аР) к радианной (а*") и наоборот.

46

Математика

§ 8. ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР 1. Треугольник

S = Y р(р-а)(р-Ь)(р-с) ; р =

а + Ь + с

S = ~- ab sin т = —7- ас sin 3 = — be sin а. 2 4 2 2

a, b, с —стороны треугольника;

nat hb, hc— высоты на соответствующие стороны треугольника;

а* Р.Т — углы треугольника.

5 = у ЦхгУ2 - ХаУО + (х2у8 - *аУа) + (Wi — *1Ув)1;

1

*2У2 1

ХзУз 1

У1) (*2» У2) (x8i Уз) —координаты вершин треугольника.

'-т

2. Трапеция

а + Ь

S = -1— • h = m . Л;

а, 6 — длины параллельных сторон; h — высота; а+Ь

тп =———— средняя линия. 2

3. Параллелограмм

5 = ah = а • b - sin о а — угол между двумя непараллельными сторонами; h — высота.

4. Ромб

5—-у

4ь <*2 — диагонали.

Площади плоских фигур

47

5. Многоугольник

п п

л» X/, у,— число вершин многоугольника и их координаты.

Формулы справедливы при нумерации вершин по ходу часовой стрелки.

6. Круг

4

7. Круговой сектор (рис. 5)

/ — длина дуги; аО — центральный угол в градусной мере; р° — число градусов в радиане; R — радиус дуги.

\ос/

Рис. 5. Круговой сектор

Рис. 6. Круговой сегмент

8. Круговой сегмент (рис. 6)

9. Эллипс

5 — nab;

Ь — полуоси эллипса.

48

Математика

10. Фигура с криволинейным контуром (рис. 7)*

Разбив параллельными прямыми всю фигуру на отдельные трапеции, находят общую площадь по формуле:

F = — (у0 + 4ух + 2у2 + 4j/3 + 2у4 + 4уБ +

+ 2^4 + 4>'2«-3 + 2^-2 + 4V2„-i + V2n); ^ = ^-{(Уо+У2л) + 2(у2+у4 + ув+ . . • +У2й^4+У2^2) +

+4(У! + у3 + У5+ • • • + У2я_3 + У2й-1) }•

ffci ft| *| *| I | У2п

Рис. 7. Определение площади криволинейного контура

§ 9. ОБЪЕМЫ ТЕЛ

1. Прямая призма

V = F • Н; F — площадь основания; Я — высота.

2. Трехгранная призма с непараллельными основаниями V--l-fa+/>. + /«;

*ь Л2, А3—длины боковых (параллельных) ребер; F— площадь нормального сечения.

3. Куб

а — ребро куба.

Объемы тел

49

4. Прямоугольный параллелепипед

V = a • Ь • с a, bt с —ребра параллелепипеда.

5. Пирамида и конус

V = FH.

3

6. Усеченные пирамида и конус (рис. 8)

Fu F% — площади верхнего и нижнего (параллельных) оснований; h — высота.

7. Призматоид (рис. 9)

Рис. 8. Усеченная пирамида

Рис. 9. Призматоид

Призматоидом называют тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями, боковые грани которого — трапеции, треугольники или параллелограммы

Л / Fx + F2 X

Fu F2— площади верхнего и нижнего основания; Fo — площаДь среднего сечения.

4 Заказ 2352

50

Математика

8. Обелиск (рис. 10)

Обелиском называют тело, боковые грани которого не пересекаются в одной точке, верхнее и нижнее основание прямоугольники, лежащие в параллельных плоскостях

V~-^[ab + cd + (a + c)(b + d)]; о

а, Ь, Су d — стороны нижнего и верхнего основания; h — высота.

Рис. 10. Обелиск

9. Цилиндр

V = F • Л; F — площадь основания; h — высота.

10. Круговой цилиндр

11. Полый круглый цилиндр (труба)

гМ кпЪ

V = T:h (R* — г2) = nhb (R + г) = —- (D* — d2) = — (D + d);

4 4

R, г —радиусы; D, d — диаметры (наружный и внутренний);

5 — толщина стенки; h — высота цилиндра.

12. Конус прямой круглый

V = 4" *^ = — = О,26180ял. 3 12

Объемы teA

51

13. Усеченный круглый конус

V = — тгЛ (Я2 + г2 + Rr) = — rJi (D2 + d2 + Dd). 3 12

14. Шар

4 1

V = — 7г/?э = 4,1888Я3 = — ttD8; о о

3

Я = 0,62035 V~V.

V =

15. Полый шар

16. Шаровой сегмент (рис. 11)

у » лЛ1 (r _ A j = _1_ яЛ (За»+Л2);

R — радиус шара; а — радиус осно- Рис. 11. Шаровой сег-вания сегмента; h — высота сегмента мент

17. Шаровой пояс (рис. 12)

V = —^(Зг* + Зг^ + Л*);

П, г% — радиусы оснований пояса; h — высота пояса.

Рис. 12. Шаровой пояс

52 Математика

т

Рис. 14. Трехосный эллипсоид

—-------- 20; Бочка сферической формы

! V_~0,2618/i(2D2 + rf2);

rf—диаметр днища; D — диаметр среднего сечения; h — высота.

18. Шаровой сектор (рис. 13)

о

R — радиус шара; h — высота соответствующего сегмента.

Гониометрия

53

21. Тела вращения

V = 2т,г • f;

F — площадь плоской фигуры, вращаемой около некоторой оси; г—расстояние от оси вращения до центра тяжести вращаемой фигуры.

§ 10. ГОНИОМЕТРИЯ

1. Тригонометрические функции (рис. 15)

2. Знаки тригонометрических функций углов разных квадрантов (четвертей)

3. Тригонометрические функции отрицательных углов

Sin ( — a) = — sin а; COS (— a) = + cos a; tg( —o) = —tga; ctg(—a) = —ctgcx;

s°c (—a) = -\- sec a; ccsec (— a) = — cosec a,

54

Математика

4. Формулы приведения тригонометрических функции

5. Основные формулы

Sin a CCS -

Sin2 a + COS2 a = 1; tg a =- ; ctg a = —-;

COS a Sin a

1 + tg2 a = Sec2 a; 1 + ctg2 a = cosec2 a;

sin a • cosec a = 1; cos 2 • sec a = 1J

tga • Ctg a = 1.

6. Выражение одной функции через другие

Sin a =-= у 1 — COS2 a =

cosec a у 1+ctg2:

tga У sec2 g — 1 e

V 1 + tg2 a Sec a

COS a =--— = Y\— Sin2 a =

seca Y l+tg*c

= Ctg* = Y ccsecg a — 1

Vi + ctg*a cosec а

Гониометрия 55

= V 1 — COS2 а . ctg а = -— = V^COSeC2 а—1

1 tg CL

COS а 6

1 COS а V^l — Sin2 а

Ksec2a— 1 "[Л— COS2 а

Sina

Sin 2a = 2 Sin a • COS a =

7. Функции двойного угла

2 tga 2 Ctg а 2

l + tg2a 1+Ctg2a tga + ctga'

l-tg2a

COS 2a = COS2 a —Sin2 a = 1 — 2sin2a = 2 CO>' a — 1 = tg 2a =

1 +tg2a '

2 tg a 2 Ctg a _2_

Ctg 2a =

1 — tg2 a Ctg2 a — 1 Ctg a — tg a 1 — tg2 a Ctg2 a — 1 cti a — tg a

2 tg a 2 Ctg a

8. Функции половины угла

sin

a

cos — 2

a ., / 1 — COS a 1 -. r- 1 r-

— -y------V l+sina- — У i_sina ;

/1 + COS а 1 , r--;- , 1 j--

a 1 /, 1 — COS a Sin а 1 — COS a

2 J/ ' 1 + COS a- ~~ 1 + COS * Sin а '

Г~ ~~

56

Математика

9. Функции суммы и разности углов

sin (<* ± Р) = sin а • cos р ± cos а • sin р»; cos (а ± Э) = ccs а . cos 3 ^ sin а • sin В;

tg * 4: tg В

tg(«±P) = * ;

1 Т tg а tg р . / . оч Ctg a ■ Ctg P T 1 Ctg(,±?')= CtgPictga •

10. Сумма и разность двух функций

а + 3 от — В sin 1 + sin 8 = 2 sin ——- ccs -L ;

a + ft .0 — 1 sin a — sin p = 2 cos-sin-

a + P a — R COS a + COS P = 2 COS —-— COS :—-— J

a + P a —p cos a — cos p = — 2 sin sin — -

[2 2

. ■ Q Sin (a ± p)

tga±tgp--—

COS a . C08 p

ctg*±ctgP = ± 8,n(a±P)

Sin a • sin P

11. Некоторые зависимости между функциями углов треугольника

Если a + Р + 7 = 180°, то

a р 7

sin a + sin р + sin 7 = 4 cos — cos — cos — ;

a P 7

ccs a + cos p + ccs 7 = 1 + 4 sin — • sin — • sin ;

tg a + tg? + tg 7 = tg a • tg P • tg 7;

a В 7 op f

ctgy+ Ctg y + ctg —= Ctg у -Ctg у Ctg ~f.

Плоская тригонометрия

57

§ 11. ПЛОСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ

1. Основные формулы прямоугольного /f плоского треугольника (рис. 16)

& + ъ* = с2; а + р = т = 90°;

aba sin а = — ; cos 1 = — ; tg а == — ; с с ft

sin 3 =

cos р = -

tgp= —; а

ab ас sin р be • sin a F= ~2~ = 2 = 2

• ccs i be • cos p

2 2

2. Решение плоских прямоугольных треугольников

Рис. 16. Прямоугольный плоский треугольник

Решение

Решение

р = 90° — а b = а • Ctg а а

с =-

Sina

„ Я2

F==__ctga

р = 90°— а fl = b tg а; с =

COS а

ft2

F = Ttga

p = 9G° —а a = с • sin a b = с • cos a

F =--Sin a COS a

2

tga = —; p = 90°-a О

b

tgP =-; a = 90° — p

c = V a* + b* = a b

Sina

COS a

F =— ab 2

Sin at =-; В = 90° — a

C

tgi_=1/IZZ

6 2 \ c + a

b^y c2 —a2 =

= С • COS a = С • Sin P

F = — Ac • sin P

2 r

58

Математика

3. Основные формулы косоугольного треугольника

а Ь с

-= . п = —-= 2R (формула синусов)

sin 1 sin Э sin y

да = b2 + с2 — 2bc • cos а (фэрмула косинуса)

a • b • sin у

F =-—-; a = b • cos 7 + с • cos p.

4. Решение косоугольных треугольников

Первый случай. Даны: а, а, 3- Найти у, 6, с, F.

7-1№-(. + Ю;

Sin а

Д • sin Y 1

с=---; F = -—flftsin Y-

sina 2 1

Второй случай. Даны а, 6, у. Найти а, (J, с,

а—3 fl —ft Y а + Р Т

а, р находят совместным решением двух последних уравнений.

a • sin y „ 1 . ■

с =-;-; F = — ab sin y>

Sina 2 1

Третий случай. Даны: a, 6, a. Найти 0. у, с, F.

b sin a

sin В =- .

a

Если a > 6, то В < 90° и имеет одно значение. Если а < Ь, то

1) 8 имеет два значения: В и 180° —8;

2) при 6 • sin a — а, 0 = 90°;

3) при Ь • sin а > а треугольник невозможен.

or • sin Y „ 1 , .

т = 180° - (а + р); с =-;--; F = — aftsinY.

sin * z

Четвертый случай. Даны: a, ft, с. Найти: а, В, у, F.

Сферическая тригонометрия

59

а + р + 7= 180°.

§12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ

1. Обозначения

a, ft, с —стороны сферического треугольника, выраженные в угловой мере;

А, В, С — стороны сферического треугольника, выраженные в линейной мере; «. В, Y — углы треугольника;

R — радиус сферы, на которой образован треугольник; F — площадь треугольника;

а + Ь + с

е — сферический избыток.

A L В С

а- —г. ft = -f; с=Тр.

2. Прямоугольный сферический треугольник (рис. 17)

7 = 90°

sin а = sin с • sin а; cos а = tg Ь • ctg с = cos i sin р; sin ft = sin с • sin P; ctg а = ctg a • sin ft; cos с = cos я • cos ft; ^

ccs P = tg a • ctg с = cos ft • sin а

cos с = ctg i • ctg p;

ctg p = ctg ft • sin a;

e° = a + p + 7 — 18u° =

= a + p-90°;

F = R2 — P

e° Рис. 17. Прямоугольный

сферический треугольник

3. Остроугольный сферический треугольник (рис. 18) sina sin ft sine sjfla ~~ ~~ sin 7

60

Математика

Формулы косинусов сторон сферического треугольника:

cos а = ccs ft • cos с + sin ft • sin с • cos з;

cos b = cos a • ccs с + sin a • sin с • ccs P;

cos с = cos ct- cos ft + sin a - sin 6 • cos y.

Рис. 18. Остроугольный сферический треугольник

а

Формулы косинусов углов сферического треугольни к а:

cos а = — cos р cos y + sin р • sin y • cos 0;

cos p = — cos 2 cos y + sin a . sin y • cos ft;

cos y — — cos a . cos p + sin a • sin p • ccs c.

Формулы произведения синуса стороны на косинус прилежащего угла:

sin а • cos р = cos ft • sin с — sin ft • cos с • cos a;

sin a • cos y = cos с • sin ft — sin с • cos ft • cos a;

sin ft • ccs a = ccs a • sin с — sin a • cos с • ccs p;

sin ft • cos y = cos с • sin a—sin с • ccs a • ccs 3;

sin с • cos a = cos я • sin ft — sin a • ccs ft • cos y;

sin с • cos p = cos ft • sin a — sin ft • cos a • cos y.

Формулы произведения синуса угла на косинус прилежащей стороны:

sin a • cos ft = cos p • sin y + sin p • cos y • cos a;

sin a . cos с = ccs y • sin p + sin y • cos p • cos a;

sin p • cos a = cos а • sin 7 + sin a • cos y • cos ft;

sin p • cos с = cos y • sin a + sin y • cos a . cos ft;

sin y • cos a = cos 0 . sin p + sin a • cos p • cos c;

sjfl y * cos ft = cos p • sin a sin p • COS a • COS Ct

Сферическая тригонЪметрия

61

Формулы котангенсов: ctg а • sin ft = cos ft • cos 7 -f- sin 7 • ctg a; ctg a • sin с = cos с • cos p + sin [J • ctg a; ctg b • sin с = cos с • cos a + sin a • ctg P; ctg ft • sin a cos a • cos y + sin 7 • ctg p; ctg с • sin a — cos a • cos p + sin p • ctg 7;

Ctg С • Sin ft = COS ft • COS a + Sin a • Ctg7 .

4. Формулы Гаусса

д-р . с a+b 7

ccs--sin — = sin —-— sin — ;

• 2 2 2 2

д+Р с a+ft . у

cos-cos — = ccs-sin -— :

2 2 2 2

a —p с a — b 7

sin-• sin — = sin-ccs —;

2 2 2 2 '

a + p с а—Ь у

sin-— cos —= cos —-— cos — •

2 2 2 2

5, Аналогии Непера

62

Математика

6. Сферический избыток

a b ас

sin — sin — sin — sin —

e 2 2 2 2 s Q

sin — =- sin 7 =---sin p =

2 c b

ccs — cos —

2 2

. * . с

sin — • sin — 2 2

—-sin a;

a

cos —

2

e / P p —tf

p —ft p —с

2 tg 2

7. Площадь сферического треугольника

e°

F = — Я2. P

8. Сферический избыток треугольников с малыми сторонами

е" = $>"

У?2 Я* • sin г ; Д • В • sin y Л2 sin (j • sin 7

2 2 sin a

At В — длины сторон в линейной мере.

9. Теорема Лежандра

Для треугольников с малыми сторонами справедлива теорема Лежандра: углы плоского треугольника в пределах точности вычислений равны углам сферического треугольника с равными сторонами, уменьшенным на Уъ сферического избытка.

Порядок вычислений:

1) вычисляют сферический избыток;

2) уравнивают измеренные углы до 180° + е;

в

3) уменьшают уравненные углы на *—;

о

4) решают треугольник по формулам плоской тригонометрии.

Аналитическая геометрия на плоскости

63

§ 13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 1. Прямоугольная система плоских координат

Положение точки М в прямоугольной системе координат определяется расстояниями до координатных осей (рис. 19). Отрезок

От = хм — абсцисса точки М. Отрезок тМ =ум — ордината точки М.

I

I I

/77

2. Расстояние между двумя точками

Рис. 19. Прямоугольная система плоских координат

3. Преобразование координат

1) При параллельном перенесении осей (преобразование к новому началу координат х0, Уо),

*i = х — х0; У1 = У — Уо,

х, у —координаты точек в старой системе;

хоу Уо — координаты нового начала в старой системе;

*ь У\ — координаты точек в новой системе.

2) При повороте осей на угол 0:

хх = х • cos 8 + у • sin 6; ух = У • cos б —х sin 6.

3) При повороте осей на угол 6 и перенесении начала координат

хг = х • ccs 8 + у sin 8 — х0; ух = у . cos 8 — х • sin 8 —у0.

4. Прямая линия

Нормальное уравнение прямой

— х cos8 — у • sin8 + р = 0(р >0), 9 — угол от положительного направления оси абсцисс до перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат; р —длина перпендикуляра.

Общее уравнение прямой:

Ах + By + С = 0.

Общее уравнение прямой приводят к нормальному умножением на нормирующий множитель

N = ± 1

V А2 + £*

64

Математика

Расстояние от точки ^, у^ до прямой d = — Xk cos в — yk • sin 0 + p.

Уравнение прямой с угловым коэфициентом: у = кх + Ь. к = tga,

где a — угол от положительного направления оси абсцисс до направления прямой;

Ь — отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат.

2

Рис. 20. Угол между двумя прямыми

Уголмеждупря-. м ым и (рис. 20).

_ к2 — кх ^

tg\2" 1+кгк%

to — ^1 —.

g? 2,1" \+к,к2

Ьи k2— угловые коэфи-циенты прямых.

Если прямые заданы уравнениями

А,х + В,у + Сг = 0;

А2х + В2у + С2 = 0,

то

~А,В2 + А2В, g?i,2 А^А2 + В\В2 '

Уравнение прямой, проходящей через данную точку (хь у\):

[ У — У1 = Л(х — х^ А(х-х1) + В(у-у1) = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (хи yi), (х2, у2):

X — хг х2 —хх

У — У^ Уг — Ух

Определение координат точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями

А& + В,у + С, = 0; А2х + Я2у + С2 = 0,

производится совместным решением этих уравнений.

Аналитическая геометрия на плоскбсти

5. Окружность

Уравнение окружности:

(x-x0)* + (y-y>o)2 = R2\

*о, Уо — координаты центра; R — радиус.

Определение координат центра и радиуса окружности, проходящей через три данные точки У\), (x2t У2)* (хь Уз)-

kyo + (s3-si) Хо = — -

Уо = —

..у

М

M(S3-

S2)

NK — ML

St + 2xoXi - 2уоУ1 + xl + yl

где

L = 2y2- 2y3.

6. Эллипс

Уравнение эллипса:

а2 ^ b2 '

а — большая полуось,

b — малая полуось.

Уравнение касательно й к эллипсу в точке М0 (х0,у0).

*о + У

Уо

Ъ2

= 1.

Графическое построение эллипса по заданным полуосям а и Ь (рис. 21):

проводят через общий центр О двух окружностей с радиусами а, Ь произвольную прямую, пересекающую обе окружности, и строят перпендикуляры: из точки В к оси ОУ и из точки А к оси ОХ; по-

5 Заказ 2352

Рис. 21. Построение эллипса

66

Математика

лучают точку пересечения перпендикуляров М. Геометрическое место точек М есть эллипс с уравнением

х2 у2 — + — = 1. а2 Ь2

7. Цепная линия

Определение. Цепная линия — кривая равновесия гибкой нити, подвешенной в двух точках (рис. 22).

Рис. 22. Цепная линия Уравнение цепной линии:

У = у (е +е ),

о —параметр кривой, т. е. расстояние от начала координат до низшей ее точки; '

ф —угол, образуемый касательной к цепной линии с горизонтальной осью ОХ

ccs % = — . а

Длина дуги от низшей точки цепной линии до данной точки кривой:

/ = а • tg ? У у2 —а2 Стрела провеса:

/ =

8РЯ

Я — вес одного погонного метра нити; L —общая длина нити, м; Ри — горизонтальная слагающая натяжения нити на ее концах.

Аналитическая геометрия в пространстве

67

§ 14. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Прямоугольная система пространственных координат

Положение точки М в прямоугольной системе пространственных координат определяется расстояниями х, yt z до координатных плоскостей (рис. 23).

а

Рис. 23. Прямоугольная система пространственных координат

2. Свойства косинусов углов радиуса-вектора

Если любую точку в пространстве соединить с началом координат, то вектор составит с координатными осями углы: а, 0, Yi которые удовлетворяют условию:

CCS2 а + CCS2 ? + СС8Я Т = 1 •

3. Расстояние между двумя точками L = V <*.-*i>a + (yi-yi)e+<z«-2:i>e •

4. Плоскость

Общее уравнениеплоскости: Ах + By + Cz + D = 0.

Нормальное уравнение плоскости:

х • ccs а + у • ccs р + г • ccs y — Р = 0.

а» Р» Y — углы, составляемые перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость, с координатными осями, р—длина этого перпендикуляра.

б* . •

68

Математика

Расстояние L от точки М (х0, у0у zu) до плоскости, заданной уравнением в нормальном виде

L = х0 ccs а + у0 cos Э + z0 ccs 7 — p.

Уравнение общего вида приводят к нормальному умножением на нормирующий множитель:

N = ±

V А2-|-~В2 + С2

Уравнение плоскосте й^ч^проходящих через данную точку: М(х0, Уо, ?6); A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-Zo) =0.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

Отсюда

А = (у2 _ у,) (z3 - zx) - (уз - У1) (z2 - h); В = (Х2 - ХА) (z3 - Zi) + (za — ?i) (*з -С = (x2 - x,) (y3 - У1) - (*s — *i) (y2 — У1).

Простирание этой плоскости:

tga =

в

Угол падения:

В

tg & = — — зес -

Угол между двумя плоскостями: AjA2 + В|Ва + СА

COS Ср =

Аналитическая геометрия в пространстве

69

5. Прямая

Прямая в пространстве задается уравнениями двух плоскостей: А,х + Вху + Cxz + Dx = 0; А2х + В2у + C2z + D2 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки: X — Xl ^ у — ух _ г — гг х2 — *1 " У2—У1 Ч — Уравнение прямой в нормальном (каноническом) виде:

X — Хр у — Уо Z — Zp

m п р

Хо, Уо, Zo — координаты одной из точек прямой; m, пу р — коэфи-циенты, пропорциональные косинусам углов аь 3i, Ти образуемых прямой с координатными осями

cos аг = m • N = m

cos Эх = п • N = п cos y!= р • N = р

_1__

"Km2 + л2 + р2 1

Ут2 + п2 + р2

Если а, 8 — дирекционный угол и угол наклона прямой, то ccs 7Х = cos 5 • cos у; ccs ^ = cos 5 • sin я; cos^? = sin&.

Тогда нормальное уравнение прямой напишется в виде:

х —Хр___У — Уо _ г — zp

cos 5 • ccs a cos 5 • sin a sin Ь

Угол между двумя прямыми в пространстве: т1-т2 + пг • п2 + Рх • р2

cos т =

/т; + л; + р' • К т| + п\ + р]

Угол ф между прямой, проходящей через точку (хо, г/о, zn) х —Хр _ У — Уо _ Z — Zp т п р

70

Математика

и плоскостью Ах + By + Cz + D = 0;

m • A + n • В + p С

Sin 'v =

V-m2 + n2 + p* • V A2 + Д2 + C2

6. Эллипсоид

Уравнение трехосного эллипсоида

я2 + ftt + с2

a, b, с — полуоси эллипсоида. ■

§ 15. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. Пределы

Обозначение lim f(x) = Ь, т. е. f(x) сколько угодно близко к b х-*л

при х достаточно близком к а. Некоторые пределы

sinx .

hm-= 1;

х

х->0

1 +— J =« = 2,7182; limh = eY.

П—>оо п оо

2. Производная функции

Определение. Производная функции есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

y,= Jfr=Hm*r = lim *(* + ^>-'(*> ,

7 dx Дх Дх

Дх~>0 Дх~*0

Геометрическая интерпретация производной:

= tga, где a — угол наклона касательной к оси х.

dx

Диференциальное исчисление

71

3. Основные формулы диференцирования

йс dx

= 0;

dx dx

= l;

d t du dv dw

— (u + v — w) = — +— — -— dx dx dx dx

d , du dv

— (u • y) = — . v + и . —— dx dx

dx

(C . у) = с

dv dx

dx \ v I

du dv

— ^ — " — dx dx

J dx ( v ) =

dx

dx

J_. di_ ^x ' dx

dy

dt; dx

d(A ) dx

= A InA

du

dx ;

d lnu dx

\du dx и

du v—i du

— =v • и — dx dx

v dv

+ и in и — ;

dx

dx

= \gAe

du dx и

A

d(u ) Л л-i du

—-— = Au -;

dx dx

dx n-i

— = л • x ; dx

72 Математика

4. Ряды

Формула Тейлора:

f(*) = /(a)+^p- Г (Д)+ ' * ' +

f(o+(.)-t(«)+-j-<'("> + -^r '"<«> + • • ■ +

+ ^ <""'<»> + £ '■<« + 1*

(X _ a)" (») tf„ = , f (5), где e < I < x,

П!

Формула f(x) =

Маклорена:

*(0)+-j-f'(0) + -p^-f*(0)+ . . . +

+t£^t t*-'><o>+*.

Ял = -^(я)(5л), где 0 <?„<*.

Некоторые ряды:

11.2^1.2-3

. . ч *2 X8 X4

.n(l+x) = x_T + 1—T +

... v X* X8 X4

du du

d arctg и dx e d arc ctg и dx

dx = 1 + a2 ' dx = ~ 1 + u2

Диференциальное исчисление

73

Lx + 1 Т 3 \x+l) т 5 u+1/ j

1-х

= (1 —х)-1 = 1 + X + X* + X» + X4 +

х8 х* х' sinx = x-—+ --- +----;

X» X4 Xе

cosx=l- — + — - — +----;

2х8 16x8 272 х7 tgx = x+- + —+ —+ . . .

lg sin x = lgx —

xa

x4

2.2.3.3.5 3.3.5.7.9 Xе 17 x8

x8 x4

lg cos x =— — —--

* 2 3.4 5-9 5.7.8.9

62 x8

xa 7 x4

lg tg x = 1? x + '— H--— +

6 * 3 ^3^9 - 10 ^5-7-9.9

+ •

5. Частные производные

Определение. Функция многих переменных может иметь столько частных производных, сколько в ней аргументов

u = f(x, y,z,t* • • •)

Полный диференциал: j

ди ди ди ди

du = — dx + —dy + —dz + —dt + . . . дх ду dz dt

6. Максимум и минимум функции (экстремум)

Правило отыскания экстремума одной переменной:

а) отыскивают первую производную функции;

б) приравнивают ее нулю и находят действительные корни уравнения, при которых может иметь место максимум или минимум функции;

в) отыскивают вторую производную;

74

Математика

г) подставляют во вторую производную каждый из найденных корней. Цели результат получится отрицательный, то функция имеет максимум. Если результат будет положителен, то функция имеет минимум.

Экстремум функции многих переменных определяют из совместного решения системы уравнений

df df df df

— = 0е —— — о- — = о* — — о дх ду dz dt

Условный (относительный) экстремум. При нахождении максимума или минимума нескольких переменных и = — f(x, у, г, г), связанных между собой одним или несколькими условиями, пользуются методом неопределенных множителей (корре-лат).

Требуется найти экстремум функции f (х, yt z) при дополнительных условиях

Составляют функцию

w = F(x, у, z) = f(x, у, ?) + Mi(*. У. ?) + k2 fa(x, у, г) = О, где ки х2 — неопределенные множители (коррелаты).

По условиям экстремума

dw л dw dw

— =0; —=0; — = 0. дх ду dz

Решив две указанные системы уравнений, находят значения:

а) неопределенных множителей (коррелат);

б) переменных, соответствующих максимуму или минимуму исследуемой функции.

fi(х, у, z) = С; fa(x, у, г) = 0.

Интегральное исчисление

75

2. Основная таблица неопределенных интегралов

С xn+i С

\ хп dx = —— + С; I sin х • dx = — cos х + С; J п+{ J

j* ^ = In х + С; J cos х • dx = sin х + С;

Г я* Г dx

flr dx =--+ C; I—— = -ctgx + C;

J In a J sin2x

I dX = — arctg — + C; I tg x • dx = — In cos* + C; Ja2+x2 e a J

f dX = — In a + X +C; \ ctgx»dx=ln sinx + C; J a2—xa 2a a —x J

Г . '* = In (x + Vx2±a2) + C. J r x2 ± a2.

3. Интегралы от некоторых трансцендентных функций

Jx* еах • dx = х*е*х—п J х*-1 еах dx + С;

fx-lnx-dx^x^1 Г-^- 1 1+С; J |.л+ 1 <л+ I)2 J

Г 1 1

\ sin* х dx = — х — — sin 2х + С:

J 2 4^'

cos2 x dx = -y x + sin 2x + C.

4. Определенный интеграл

Исходная формула: b ь

jf(x)dx= I F(x) «F(*)-F<e).

76

Математика

Значения некоторых определенных интеграл о в:

2*

j

о

j sin р • d р = 0; j sin2 p • d p = я;

2.x

]

0

+ oo

+ oo + oo _

Геометрический смысл определенного интеграла (рис. 24).

Рис. 24. Геометрический смысл определенного интеграла

У

Если функция у = [(х) выражается плоской кривой, то

jf(x)rfx = F,

еде F — площадь между кривей и осью абсцисс, ограниченная ординатами, проведенными из точек х = а и х = 6.

ДиференциалЬная геометрия

7?

§ 17. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Плоские кривые

Уравнения эллипса (рис. 25):

х2 у2

х = а • cos/; у = & • sin/.

Рис. 25. К уравнениям эллипса

Рис. 26. Касательная, секущая в нормаль

Диференциал дуги при задании уравнения кривой в явном виде:

при параметрическом виде уравнения '

ds = V (х')2 + (у')2 -dt.

Касательная (рис. 26), в точке М — предельное положение секущей MN при N -»М.

Нормаль — прямая перпендикулярная к касательной, проходящая через точку ее касания к кривой.

1 Настоящий параграф написан доц. канд. техн. наук Т. А. Буй.

78

Математика

Вид уравнения кривой

Уравнение касательной

Уравнение нсрмали

В неявном виде

В явном виде

В параметрическом виде

dF dF „

— (Х-х)+ — (Y-y) = 0

дх ду

dy

У—у X — х

у' X'

х Y

dF

dF

дх ду

У-У = -

-^<*-*> dx

х' (Х-х) + + У (У-У) = 0

х, у— координаты точки М на кривой, для которой находят уравнения касательной и нормали;

Ху У— текущие координаты касательной или нормали;

Производные вычисляют для точки М.

Отрезки касательной МТ, нормали MN, подкасательной РТ и поднормали PN (рис. 27) при задании уравнения кривой в явном виде:

Ч' /, + Шг

-I' V^Wi-

MN

РТ = -j- ; PN=\y dy_ I

dx

dx

Рис. 27. Отрезки касательной, подкасательной, нормали и поднормали

Угол наклона касательной (а):

dy

COS а =

dx_ ds

sin i =

ds '

ds — диференциал дуги.

ДиференциалЬная ёеоМетрия

2. Кривизна плоской кривой

Формулы для определения кривизны плоской кривой:

а) при задании уравнения коивон в неявном виде

F9 F" F'

' хх ху X

р" F" F'

гух уу у

К =

Fx Г у О

2

б) при задании уравнения кривой в явном виде

dx2

2

в) при задании уравнения кривой в параметрическом виде

х'у'

X = х" у'

Радиус кривизны R = -jr

К

Радиус кривизны для эллипса, уравнение которого задано в параметрическом виде

R =

(a2 sin / + b2 cos Q а • b

при t = 90° (полюс) R = —- ;

b

при / = 0° (экватор) R =

Ь2

Математики

Координаты центра круга кривизны: а) при задании уравнения кривой в явном виде

хг = х —

1 +

Ус = У +

dx*

d*y dx*

б) при задании уравнения кривой в параметрическом виде

Рис. 28. Эволюта эллипса

хс*=х —

Ус = У +

У'(х'2 + У'2): х' у' х" у"

х'у' х"у"

х, у — координаты точки М.

Если радиус кривизны кривой R известен, то

хс = х — R sin а;

ус = у + Rco$a;

_ dy_

Уравнение эволюты эллипса (рис. 28) (геометрического места центров кривизны)

Диференциальная геометрия

61

К

3. Кривизна и кручение пространственной кривой

Кривизна кривой (К) в точке М:

}__1 (х'а + y'2 + z'2) (х*2 + У"г + z"2) — (x' х" + У' У" + г' z")*

р — радиус кривизны; х, */ — координаты точки Л1 (уравнение кривой дано в параметрическом виде, производные взяты по t).

Кручение кривой Т в точке М

х' у' г*

Т = — =

(х'2 + у'2 +г'У

i — радиус кручения (уравнение кривой дано в параметрическом виде, производные взяты по t). Радиус кручения т называют также радиусом второй кривизны.

4. Поверхности

Уравнение касательной плоскости к точке М поверхности:

dF dF dF

— <Х-х) + — (V-y) + — (Z-z) = 0. dx dy dz

Уравнение нормали к поверхности:

Х — х У — у Z — z

dF dx

dy

dF dz

dz dz

Если обозначить -— = p\ — = Ц> то уравнение нормали dx dy

будет (уравнение поверхности задано в явном виде)

Х—х У—у Z—z

Р ~~ Я ~~ — 1

Главные радиусы кривизны Ль поверхности вычисляют как корни квадратного уравнения

(г/-5»)Я« + 1/7Г[2ма-(1 + pyt-(\+q*)r]R + H* = 0;

_d2z dy1 Г " dx2 '

d«z daz , a-------

dx« dy dy2

6 заказ 2352

62

Математика

Направление плоскости одного главного сечения

dy dx

dy

— находят из решения квадратного уравнения

{lPt-.(l+rtJ(2)e + [

dx

+ |*(1+р*)-гр?|=0.

Радиус кривизны любого нормального сечения, составляющего с плоскостью главного сечения угол со,

1 cos2 a) sin2w +

Средний радиус кривизны

Радиус первой кривизны сечения поверхности произвольной плоскостью, не проходящей через нормаль к поверхности

г = R • cos в,

где г — радиус первой кривизны любой кривой на поверхности; R — радиус нормального сечения;

8 — угол между плоскостями нормального и наклонного сечения, образующего исследуемую кривую.

Уравнение геодезической линии на поверхности

Свойство геодезической линии на эллипсоиде в ра щения

г • sin А = const;

г — радиус параллели в данной точке; А — азимут геодезической линии.

Литература

83

ЛИТЕРАТУРА

1. Л. Я. Оку н ев. Высшая алгебра, М.-Л, Гостехиздат, 1949.

2. А. Г. Курош. Курс высшей алгебры,М-Л, Гостехиздат, 1946.

3. Н. Н. Рыбкин. Прямолинейная тригонометрия, Учпедгиз, 1951.

4. П. К. Ш м у л е в и ч. Прямолинейная тригоном этрия, ОНТИ, 1938.

5. Д. И. Перепел кин. Курс элементарной геометрии, ч. I и II, М., 1948—1949.

6. М. К. В е н т ц е л ь. Сферическая тригонометрия, М.. Геодез-издат, М„ 1948.

7. Н. Н. Степанов. Сферическая тригонометрия, ОНТИ, Л., 1936.

8. Ф. Ф. Павлов и В. П. М а ш к е в и ч. Сферическая тригонометрия, М., 1951.

9. И. И. Привалов. Аналитическая геометрия, Гостехиздат. М., 1949.

10. С. С. Бюшгенс. Аналитическая геометрия, часть I и II, ОНТИ, М.. 1939.

11. А. Ф. Берм ант. Курс математического анализа для втузов, часть I и II, Гостехиздат, М, 1950.

12. Г. М. Фихтенгольц. Математика для инженеров, часть I и II, Гостехиздат, М., 1932—1934.

13. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. I и II, М, Гостехиздат, 1948,

14. А. П. Норде н. Диференциальная геометрия, Учпедгиз, М., 1939.

15. С. П. Ф а н н и к о в. Диференциальная геометрия, Учпедгиз, М., 1939.

16. С. П. Фанни ков, Теория поверхностей, ОНТИ, М., 1934.

17. И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев. Справочник по математике, Гостехиздат, М.—Л., 1948.

18. Р. В. Д э л л. Справочная книга по математике для инженеров и студентов втузов., Гостехиздат, М.—Л., 1938.

19. Машиностроение, Энциклопедический справочник, т. I. кн. I. М, Машгиз, 1947

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ПРОЕКЦИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В МАРКШЕЙДЕРСКОМ ДЕЛЕ

Проф. докт. техн. наук Д. Н. ОГЛОБЛИН Доц. канд. техн. наук А. П. РЫЛОВ

§ 18. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Различают два основных вида проекций: центральную и параллельную.

Центральная проекция. Для изображения на плоскости К отрезка кривой ABCDE (рис. 29) проводят из произвольной точки Р прямые линии через характерные точки кривой, до встречи их в точках а, Ь, с, d, е с плоскостью К. В этой проекции: К — плоскость проекции; Р — центр или полюс проекции:

Pat РЬ, Рс— проектирующие лучи

(прямые); а, Ь, c,d,e — проекция ABCDE на плоскость К. Параллельная проекция — частный случай центральной проекции, когда точка Р находится в бесконечности. В паралн лельной проекции проектирующие лучи параллельны между собой и образуют цилиндрическую поверхность. Параллельная проекция может быть прямоугольной (ортогональной) и косоугольной. В первой проектирующие лучи составляют с плоскостью проекции прямой угол; во второй—острый угол.

В маркшейдерском деле применяют следующие виды проекций: 1) прямоугольную проекцию на одну плоскость с числовыми отметками;

Рис. 29. Центральная проекция

Проекции с числовыми отметками

85

2) аксонометрические проекции;

3) аффинные проекции;

4) стереографические проекции.

Прямоугольную проекцию на две плоскости, применяемую в техническом черчении, для изображения горных выработок и элементов зглегания полезного ископаемого почти не применяют.

§ 19. ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ 1. Геометрическая сущность проекции

Для получения проекции точки А на плоскости (рис. 30) опускают из этой точки перпендикуляр на заданную плоскость. Точка а

А

6

в

Рис. 30. Проекция с числовыми отметками

есть проекция точки А. Расстояние от точки А до плоскости проекции Н называют числовой отметкой точки. Числовую отметку подписывают рядом с проекцией точки.

2. Проекция прямой линии

В проекции с числовыми отметками прямая линия может быть задана (рис. 31):

проекцией двух точек а и Ь с их числовыми отметками,

проекцией одной точки и направлением прямой.

Направление прямой определяют дирекционным углом а и углом наклона 8.

Уклоном прямой i называют натуральное значение тангенса угла ее наклона.

/=tg&.

Ступенчатыми точками прямой называют проекции точек, отметки которых кратны заданной величине ft.

86 Проекции, применяемые в маркшейдерском деле

Заложением прямой d называют расстояние на плане между проекциями двух ее точек, разность числовых отметок которых равна заданной величине Л.

d = h • ctgS.

Градуирование прямой — определение на ее проекции ступенчатых точек по заданным отметкам двух точек этой прямой.

Рис. 31. Два способа за- Рис. 32. Градуирование прямой дания прямой ab с помощью трафарета

Градуирование может быть осуществлено графически (построением профиля прямой), аналитически и с помощью трафарета (рис. 32).

3. Взаимное положение двух прямых

Прямые пересекаются (рис. 33), если их проекции пересекаются, а точка пересечения имеет одну и ту же отметку для обеих прямых.

Прямые скрещиваются, если их проекции пересекаются, а точка пересечения имеет различные отметки для обеих прямых.

Прямые параллельны между собой, если их проекции параллельны, заложения равны и числовые отметки убывают в одну сторону.

Прямые, лежащие в одной вертикальной плоскости, взаимно перпендикулярны, если

«1

где d,u d2 — заложения прямых; h — интервал отметок.

Числовые отметки таких прямых убывают в разные стороны.

Пересекающиеся прямые

Проекции с числовыми отметками

87

4. Проекция плоскости

Плоскость изображают системой горизонталей (рис. 34). Горизонтали — прямые, образуемые пересечением данной плоскости горизонтальными плоскостями, равноотстоящими друг от друга по вертикали.

Рис. 34. Изображение плоскости способом горизонталей

Положение плоскости в пространстве характеризуют элементами залегания: углом простирания а и углом падения 8. Углом простирания плоскости называют дирекционный угол положительного

Рис. 35. Построение горизонта- Рис. 36. Построение горизонталей плоскости по трем точкам лей плоскости по прямой и точке

направления горизонтали. Последним считают такое, когда при взгляде вдоль этого направления плоскость будет падать направо.

Направлением линии падения плоскости называют направление, перпендикулярное линии простирания, Углом падения $ называют

Проекции с числовыми отметками

89

угол, который составляет линия падения с горизонтальной плоскостью. Дирекционный угол линии падения равен а + 90°. Горизонтали плоскости могут быть построены, если даны:

а) координаты х, у, z трех ее точек, не лежащих на одной прямой (рис. 35);

б) прямая линия и точка, расположенная вне прямой (рис. 36);

в) две пересекающиеся прямые (рис. 37);

г) две параллельные прямые (рис. 38);

Элементы залегания плоскости, изображенной в горизонталях (рис. 39), определяют:

а) непосредственным измерением на плане;

б) построением разреза по линии падения плоскости.

5. Взаимное положение двух плоскостей

Плоскости параллельны, если их горизонтали параллельны, линии падения направлены в одну сторону и заложения равны.

Плоскости пересекаются, если:

а) пересекаются их одноименные горизонтали;

б) горизонтали плоскостей параллельны, но имеют противоположное направление;

в) горизонтали плоскостей параллельны, имеют одинаковое направление, но разные заложения.

Определение линии пересечения двух плоскостей.

Рис. 40. Определение линии пересечения двух плоскостей, горизонтали которых пересекаются

При пересекающихся горизонталях находят линию пересечения плоскостей как геометрическое место точек пересечения одноименных горизонталей (рис. 40).

90 Проекции, применяемые в маркшейдерском деле

При непересекающихся горизонталях находят линию пересечения плоскостей построением вспомогательных разрезов (рис. 41).

Плоскости взаимно перпендикулярны, когда двухгранный угол между ними равен 90°.

Рис. 41. Определение линии пересечения двух плоскостей, горизонтали которых не пересекаются

6. Плоскость и прямая

Прямая лежит в плоскости, если хотя бы две ее точки лежат в этой плоскости.

Рис 42. Отыскание точки пересечения прямой и плоскости

Пересечение прямой и плоскости (рис. 42). Градуируют прямую ab через тот же интервал, через который проведены горизонтали заданной плоскости Р. Через ступенчатые точки,

Проекции с числовыми отметками

91

прямой ab проводят горизонтали произвольной вспомогательной плоскости Q, проходящей через данную прямую АВ. По точкам пересечения одноименных горизонталей плоскостей Р и Q находят тп — линию пересечения плоскостей Р и Q. На этой линии отмечают искомую точку К пересечения прямой и плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если в заданной горизонталями плоскости можно провести прямую, параллельную проекции заданной прямой, которая имела бы заложения, равные заложениям данной прямой, и возрастание числовых отметок в ту же сторону.

Прямая перпендикулярна плоскости при соблюдении двух условий:

а) проекция прямой перпендикулярна горизонталям плоскости;

б) заложение плоскости ^пл и заложение прямой dnp удовлетворяют условию

Из точки А опустить перпендикуляр на плоско с т ь Р и найти точку его пересечения с плоскостью.

Рис. 43. Восстановление перпендикуляра к плоскости

Решение (рис. 43): 1) проводят из точки а прямую, перпендикулярную горизонталям плоскости; 2) строят тп — вертикальный разрез по направлению перпендикуляра, на котором наносят точку А по заданной отметке (28,0) и след плоскости Р; 3) опускают из точки Д перпендикуляр на след плоскости Р,

Проекции, применяемые в маркшейдерском деле

в результате чего находят точку К и ее отметку (14,3); 4) переносят точку К на проекцию перпендикуляра, в результате чего находят k — искомую точку пересечения перпендикуляра и плоскости; 5) по двум точкам а и k градуируют построенный перпендикуляр.

7. Совмещение плоскостей

Применение. Совмещение плоскостей применяют для графического определения неискаженных элементов (длин, углов), лежащих в произвольной плоскости, не параллельной плоскости проекции.

Общий ход совмещения плоскостей:

1) проводят плоскость через исследуемые элементы (точка, прямая, две прямые);

2) вращают взятую плоскость около одной из ее горизонталей до положения, параллельного плоскости проекции;

3) находят совмещенное изображение исследуемых элементов, после поворота плоскости;

4) на совмещенном (повернутом> чертеже определяют графически не искаженные значения искомых элементов (длин, углов).

Отыскание совмещенного положения точки а, лежащей в плоскости Р, после поворота плоскости в горизонтальное положение.

Решение (рис. 44):

1) выбирают произвольно горизонталь, вокруг которой будет повернута плоскость Р (допустим 4-ю горизонталь);

Л'

-*-----, А

-1 71

I /

Рис. 44. Определение совмещенного положения точки

2) проводят из точки а прямую, перпендикулярную горизонталям плоскости;

3) откладывают в точке а, параллельно горизонталям, в масштабе плана отрезок 2,5 м, равный разности отметок точки а и 4-й горизонтали, в результате чего находят точку А};

Проекции с числовыми отметками

93

4) переносят точку А{ радиусом 0А{ на продолжение перпендикуляра оа. Полученная точка А будет искомым совмещенным положением точки а.

Определить кратчайшее расстояние от точки а до прямой тп.

Решение (рис. 45): 1) проводят через данную прямую и точку плоскость, т. е. строят ее горизонтали; 2) вращают эту плоскость до горизонтального положения около горизонтали с от-

Рис. 45. Кратчайшее расстояние от точки до прямой

меткой 3; 3) строят совмещенное положение А, М, N точек а, т, п, 4) опускают из точки А перпендикуляр на линию MN и графически находят его длину АК.

Определить угол между двумя пересекающимися прямыми ab и cd.

Решение (рис. 46): 1) проводят через данные прямые вспомогательную плоскость, которую вращают около 14-й горизонтали; 2) находят совмещенное положение точек Л, В, С, D и соединяют их прямыми линиями; 3) измеряют транспортиром искомый угол (3.

Определить угол между двумя плоскостями Р и Q.

Решение (рис.47): 1) находят тп — линию пересечения плоскостей Р и Q; 2) выбирают на линии тп произвольную точку А и проводят через нее плоскость R, перпендикулярную прямой тп. Горизонтали плоскости R будут перпендикулярны прямой тп и отстоять друг от друга на расстоянии

-л

1 \

Рис. 46. Угол между пересекающимися прямыми

Я

Рис. 47. Угол между пересекающимися плоскостями

Рис. 48. Окончательное определение угла между пересекающимися плоскостями

Рис. 49. Угол между прямой и плоскостью

Проекции, применяемые в маркшейдерском деле

3) находят Аа и Ab — линии пересечения плоскостей Р и R,

Q И /?;

А) вращают плоскость R около 18-й горизонтали (рис. 48) и находят аи Ь\ — совмещенные положения точек а, Ь; 5) проводят прямые аИ, Ь\В и графически измеряют угол 3» который равен искомому углу между плоскостями.

Определить угол 3 между прямой и плоскостью (рис. 49). В этом случае находят графически не угол р, а угол между данной прямой и перпендикуляром к плоскости, который равен 90° — В-

Решение: 1) выбирают на заданной прямой cb произвольную точку Ь\ 2) опускают из точки b перпендикуляр Ьт на заданную плоскость Р\ 3) проводят через заданную прямую и построенный перпендикуляр вспомогательную плоскость Q; 4) совмещают вспомогательную плоскость с плоскостью чертежа и находят угол между двумя прямыми; 5) взяв дополнение до 90° к найденному углу, получают искомый угол между прямей и плоскостью.

8. Изображение топографической поверхности

Определение. Топографической поверхностью называют поверхность неправильного вида, пересекающуюся с любой отвесной линией только в одной точке.

Горизонтали топографической поверхности Наиболее распространенным способом изображения топографической поверхности является способ горизонталей, т. е. проекций с числовыми отметками.

Горизонталью или изогипсой топографической поверхности называют геометрическое место точек с- одинаковыми отметками.

Сечение горизонталей h есть разность отметок смежных горизонталей, или вертикальное расстояние между секущими горизонтальными плоскостями (уровенными поверхностями).

Заложение горизонталей d есть расстояние межау двумя смежными горизонталями на плане

d = h • ctg ft.

Для определения угла наклона 8 удобно пользоваться масштабом заложений (рис. 50).

Построение горизонталей топографической поверхности производят способами инвариантных линий, многогранника и профилей.

Способ инвариантных линий (т. е. линий, представляющих геометрическое место точек наибольшей кривизны горизонталей) применяют в топографии. Положительные инварианты — линии водораздела; отрицательные инварианты — русла рек, долин; впадин. Система инвариантных линий является как бы скелетом топографической поверхности. Градуируя инвариантные линии, находят их ступенчатые отметки. Дополнительно к инва-

Проекции с числовыми отметками 97

риантным линиям снимают необходимое число линий скатов. Точки с одноименными отметками соединяют плавной кривой, которая и будет соответствующей горизонталью.

й

О9 Г 2' Г 4' 5' 10* 15* Ж Ж 45*

Рис. 50. Масштаб заложений h = 10 м

Способ многогранника применяют при геометризации месторождений, т. е. при построении горизонталей скрытых топографических поверхностей. В этом случае рассматривают топографическую поверхность как предел вписанного в нее многогранника. Порядок построения: 1) все точки, для которых известны отметки изображаемой топографической поверхности, соединяют в треугольники, стремясь делать их равносторонними; 2) рассматривают каждый треугольник как плоскость и строят его горизонтали; совокупность горизонталей всех треугольников даст горизонтали избранного многогранника; 3) сглаживая ломаные горизонтали многогранника до плавных кривых, получают искомые горизонтали топографической поверхности.

Способ профилей применяют при построении горизонталей подземных топографических поверхностей, разведанных скважинами, расположенными по линиям вкресг простирания месторождения. Порядок построения: 1) находят по каждому профилю графически ступенчатые точки; 2) переносят ступенчатые точки на план; 3) соединяют точки, имеющие одинаковые отметки плавной кривой.

Уравнение топографической поверхности:

z = f (х, у).

Эта функция характеризуется свойствами: конечности, однозначности, непрерывности и плавности.

7 Заказ 2352

98

Проекции, применяемые в маркшейдерском деле

§ 20. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

1. Определение

Аксонометрические проекции есть один из видов параллельного проектирования. В аксонометрической проекции любое пространственное тело, подлежащее изображению, относят к системе трех взаимноперпендикулярных координатных осей. При построении аксонометрической проекции проектируют на ее плоскость изображаемое тело и координатные оси.

В зависимости от направления проектирующих лучей к плоскости проекции различают: 1) прямоугольные и 2) косоугольные аксонометрические проекции.

Плоскость проекции К может занимать любое положение в пространстве. Предпочтение отдают таким положениям, которые обеспечивают наибольшую наглядность проекции.

2. Показатели искажения

Пусть точка А имела пространственные координаты хА, уА, zA. При аксонометрическом проектировании эти координаты спроек* тируются в искаженном виде и будут иметь новые значения

9 9 t

хл» Уа> za-

Показатели (коэфициенты) искажения есть отношения

/ 9 9

р=— , Я = — . 2-— ' *а У а 2а

р, q, г характеризуют степень искажения всех отрезков прямых, параллельных соответствующим координатным осям.

3. Аксонометрический масштаб (рис. 51)

Масштаб строят на трех прямых, представляющих аксонометрические координатные оси. Каждую ось масштаба градуируют, исходя из масштаба исходного плана и принятых показателей искажения р, q, г. Аксонометрический масштаб должен быть вычерчен на каждом графике аксонометрической проекции.

4. Виды аксонометрических проекций

Прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции в зависимости от показателей искажений разделяют на три вида:

Триметрические — показатели искажения по всем трем координатным осям различны, т. е. р Фд^г.,

Аксонометрические проекции

99

Диметрические — показатели искажения по двум каким-либо осям равны, т. е. р = q или р = г или q = г.

Изометрические — показатели искажения по всем трем координатным осям равны, т. е. p = q = л

50 м 25 О 25

Рис. 51. Аксонометрический масштаб

5. Прямоугольная аксонометрическая проекция

Вид прямоугольной (ортогональной) аксонометрической проекции полностью определяется положением плоскости проекции или направлением проектирующих лучей относительно пространственных координатных осей.

Зависимость между показателями искажения:

Р* + ?а + г* = 2;

/2р8 =, /" 2д*

Р* + Яг + г* 9 4 У p* + q* + r* ;

V Р* + Я2 + г*'

Зависимость углов между аксонометрическими осями и показателей искажения

S — угол между осями 0' Z' и О' К';

Т — угол между осями О' Z' и О' X';

5 = 90° + Т; 7==90° + 1~;

100 Проекции, применяемые, в маркшейдерском деле

(Я2)2 + (г2)2 - (р2)2

СС S а = -------; ~ ~--

(р2)2 + С2)2 - (ч2)2

ccs y =

2р2г2

Для построения прямоугольной аксонометрической проекции нужно задаться: 1) двумя показателями искажений, выбрав каждый из них меньше единицы, или 2) отношениями р : q : г.

В первом случае третий показатель находят по формуле р2 + -f. q2 + г2 = 2, а углы 5 и Т — но указанным выше формулам. Во втором случае вычисляют показатели искажений р, <7, г по их относительным величинам, а углы S и Т по формулам.

6. Косоугольная аксонометрическая проекция

Вид косоугольной аксонометрической проекции определяется углом а, который составляют проектирующие лучи с плоскостью проекции.

Основная теорема. Три произвольные прямые на плоскости чертежа, пересекающиеся в одной точке, могут быть приняты за аксонометрические проекции косоугольных координатных осей в пространстве и три произвольные конечные числа р, q, г могут быть приняты показателями искажений.

Зависимость между показателями и с к а ж е-н и й:

p2 + q2 + r2 = 2 + ctga.

Наиболее применяемые косоугольные аксонометрические проекции, В практике горного дела получили распространение три вида косоугольных проекций:

а) Диметрические, в которых плоскости проекции параллельна одной из плоскостей прямоугольной системы координат. Если плоскость проекции параллельна плоскости XOZy то р = 1, r=l, a q может иметь какое угодно значение.

б) Кавальерная — угол между осями .О'Х' и O'Z' равен 90°, а два других — по 135°. Направление проектирования <j — = 45°. Плоскость проекции параллельна плоскости ZOX •

. р = г= 1, q = 0,5.

в) Тр им етр и ческие — в которых плоскость проекции принята вертикальной и параллельной среднему простиранию свиты пластов или рудных тел месторождения.

7. Построение аксонометрической проекции точки

Даны: пространственные координаты точки ^(*а» уа> 7а)» направления аксонометрических осей и показатели искажения

р, q> г.

Аксонометрические проекции

Решение: а) вычисляют аксонометрические координаты точки А

ХА= Р*А> УА= ЯУл* ZA = rzA>

б) откладывают х'А, уДу гА в аксонометрических осях, находят искомую точку.

8. Построение аксонометрического изображения горных работ

а) задаются направлением аксонометрических осей и показателями искажений р, q, г;

б) строят на прозрачной бумаге искаженную сетку Х'О'У, стороны которой параллельны направлениям аксонометрических осей, а размеры уменьшены пропорционально показателям искажений р и q\

в) переносят на построенную координатную сетку с соответствующими искажениями контуры горных выработок (рис. 52);

г) наносят на «чистом листе бумаги, подготовленном для аксонометрической проекции, направления аксонометрических осей;

д) размечают на аксонометрической оси O'Z горизонты гор ных работ;

е) прикладывая к осям на соответствующих горизонтах искаженный план, переносят на заготовленный лист горизонтальные выработки каждого отдельного горизонта (рис. 53);

ж) восстанавливают наклонные и вертикальные выработки.

9. Решение метрических задач по аксонометрической

проекции

Определить длину прямой, параллельной одной из аксонометоических осей.

Решение: а) измеряют длину отрезка; б) делят результат измерения на показатель искажения по данной оси.

Определить длину прямой не параллельной ни одной из координатных осей.

Решение: а) находят проекции прямой на каждую аксонометрическую ось; б) исправляют длину каждой проекции с учетом показателя искажения; г) складывают геометрически исправленные длины трех проекций.

Определить горизонтальный угол между двумя прямыми.

Решение: а) намечают три точки: одну в вершине угла, две других —по одной на каждой прямой; б) определяют графически аксонометрические координаты намеченных точек; в) вычисляют пространственные координаты этих точек; г) накладывают точки по вычисленным координатам и, проведя через них две прямые, находят искомый угол.

Решение метрических задач облегчается предварительным построением эллипсов искажений.

X

Рис. 52. Исходный и «искаженный» план горных работ

2J00

2Z00

ЯМ

Стдол ша.хтн№ QL

20/>rJ/0M

si

*4500 +U№ +4700 +Ш0 +4S00 -±5000 *5100

Рис. 53. Аксонометрическая проекция горных выработок

Проекции, применяемые в маркшейдерском деле

§ 21. АФФИННЫЕ ПРОЕКЦИИ

1. Определение

Аффинная проекция есть один из видов параллельного проектирования. Геометрическая схема аффинного проектирования представлена на рис. 54. Здесь: М — основная предметная плоскость;

5-

т

Рис. 54. Аффинная проекция

N— плоскость проекции; РР — ось родства; ST — направление проектирования; ф — угол между предметной плоскостью М и плоскостью N\ ф — угол, который ST составляет с плоскостью М\ аЬс — аффинная проекция треугольника ABC.

Аффинная проекция может быть прямоугольной и косоугольной. В маркшейдерском деле применяют только прямоугольную аффинную проекцию, в которой ST перпендикулярно плоскости проекции.

В прямоугольной аффинной проекции проектирующие лучи изображаются прямыми перпендикулярными оси родства.

2. Аффинные координаты

Для построения изображений в аффинной проекции вводят аффинные координаты (рис. 55): ось родства РР —принимают за ось абсцисс (Хаф), а перпендикулярную ей линию, лежащую в плоскости проекции, за ось ординат (Уаф)- При удалении точки

Аффинные проекции

от предметной плоскости ее аффинная проекция перемещается перпендикулярно оси родства на величину, называемую аффинной ВЫСОТОЙ (лаф).

Для прямоугольной аффинной проекции

*аф = *; Уйф = У Sin V; //аф = // cos ср.

3. Изображение предмета в аффинной проекции

Намечают на плаке в проекции с числовыми отметками (рис. 56) ось родства XX. Проектируют на эту ось все характерные точки предмета (в данном случае усеченной пирамиды). Проводят на чистом листе бумаги горизонтальную прямую, принимаемую за ось родства плоскости нижнего основания,, имеющего отметку 50 м (рис. 57). Задаются направлением проектирования Ф = 30° Подсчитывают для всех точек нижнего основания аффинные ординаты У%ф = у sin 30°. Значения у берут графически с исходного плана. Переносят точки 2\ 3', 4* на ось родства Х'Х' и восстанавливают из них перпендикуляры, на которых откладывают вычисленные аффинные ординаты. Соединив точки" /, 2, 3, 4 прямыми линиями, получают аффинную проекцию нижнего основания усеченной пирамиды. Вычисляют аффинную высо-

Проекции, применяемые в маркшейдерском деле

ту верхнего основания по формуле Лаф = ^cos 30° и на этом расстоянии от оси родства Х"Х" проводят ось родства Х"Х" верхнего основания. От этой оси, следуя прежнему порядку, строят

Рис. 56. Получение аффинных координат

Рис. 57. Аффинное изображение усеченной пирамиды

верхнее основание. Очевидно, что на аффинной проекции должно быть проведено столько осей родства, сколько горизонтальных сечений тела изображено на исходном плане.

108

Проекции, применяемые в маркшейдерском деле

4. Построение аффинного изображения горных работ (рис. 58 и 59)

Построения аффинной проекции ведутся в таком же порядке, как и в предыдущем примере. Сначала строят изображения горизонтальных выработок. После этого восстанавливают изображения вертикальных и наклонных выработок. После построения оси родства и перпендикуляры к ним могут быть удалены с чертежа.

§ 22. МЕХАНИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ АФФИННЫХ ПРОЕКЦИЙ i

Советскими конструкторами предложен ряд механизмов, позволяющих воспроизводить аксонометрическую, аффинную проекцию и изображение тела в центральной перспективе.

Аффинограф А. П. Рылова (рис. 60). Трубчатая штанга / наглухо соединена с направляющей планкой 2. В прорезе направляющей планки свободно скользит пишущий штифт «3, шарнирно соединенный с обводным штифтом 4 при помощи шести планок. Трубчатая штанга /, помещенная в подставках монолитной планки 5, имеет возможность возвратно-поступательного перемещения

!) Настоящий параграф написан канд. техн. наук Г. Б. Вальц.

Механические способы построения аффинных проекций 109

вдоль своей оси совместно со стержнем 0 и планкой 2. Ребро планки 5 устанавливают по намеченной оси родства. Если переместить обводной штифт 4 параллельно оси родства на некоторый отрезок, то пишущий штифт 3 также изредвинется на равный и параллельный ему отрезок. Если ' обводной штифт 4 переместить перпендикулярно оси родства, то пишущий штифт также начертит перпендикулярный отрезок, пропорциональный показателю искажения, задаваемому соответствующей установкой рычагов (планок). Таким образом, при обводе штифтом 4 заданного плоского, контура штифт 3 вычертит его аффинную проекцию.

Аффинограф И. Д. Гольдина (рис. 61). По направляющей / на роликовых каретках 2 параллельно перемещаются две пары линеек 3, свободные концы которых попарно сочленэны посредством двойных шарнирных ползунов 4 и 5, к которым присоединены обводной и пишущий штифты.

Рис. 61. Аффинограф И. Д. Гольдина

Установку прибора в рабочее состояние производят так, чтобы острие пишущего и обводного штифта были расположены на любой паре заданных родственных точек избранной аффинной проекции и исходного плана. Для этого линейки 3 имеют возможность поворачиваться вокруг кареток 2 и закрепляться в требуемом положении. Если перемещать обводной штифт по контуру плоской фигуры, то пишущий штифт изобразит фигуру, родствен-

по

Проекции, применяемые в Маркшейдерском деле

ную данной. Для перехода к объемным изображениям в приборе предусмотрен передвижной планшет под пишущим штифтом. Планшет передвигают в соответствии с числовой отметкой плана.

Перспектограф Г. Б. Вальца (рис. 62). Прибор позволяет строить центральную перспективу и представляет несложное приспособление к рейсшине.

Рис. 62. Перспектограф Г. Б. Вальца

Вокруг полярного стержня Р, закрепленного на рейсшине, свободно вращаются две планки 1 и 2. Вторая планка с продольными прорезами является направляющей для обводного штифта 6 и пишущих штифтов 7 и 8. Поперечные планки 3, 4Ч 5 шарнирно соединены с планкой 2.

Когда обводной штифт 6 перемещается по контуру оригинала, пишущие стержни вычертят центральную проекцию. Изменяя расстояния шарниров относитгльно полярного стержня, получают требуемый масштаб глубины.

Рейсшина выполняет назначение опоры полярного стержня и прикрепляется к доске зажимными винтами 9.

Аффинограф Г. Б. Вальца (рис. 63) отличается от описанного перспектографа возможностью возвратно-поступательного перемещения рейсшины по доске и наличием транспортира, по которому устанавливают и закрепляют направляющую планку по требуемому направлению.

Рис. 63. Первый аффинограф Г. Б. Вальца

112

Проекции, применяемые в маркшейдерском деле

Если обводним штифтом 5 в нижней полуплоскости обвести любой плоский контур, то один или два пишущих штифта 1 и 4 в верхней полуплоскости вычертят аффинную проекцию этого контура.

Аффинограф Г. Б. Вальца (рис. 64). Металлическая планка 1 может перемещаться вдоль оси родства, будучи расположенной

Рис. 64. Второй аффинограф Г. Б. Вальца

между двумя чертежными досками. Плавность скольжения осуществляется при помощи роликов, катящихся вдоль кромок верхней и нижней доски.

Планка 1 соединена с четырьмя дополнительными планками 2, 3, 4, 5, расположенными под углом 90° относительно оси родства

Стереографические проекции

113

На планке 5 вокруг центров О, и 02 свободно вращаются две кулисы 6, 7. Планки 2У 3> 4 имеют прорезы и являются направляющими для ползунов А, си, а2.

На ползуне А закреплен обводной штифт со спиральным амортизатором, на ползуне а* аналогично укреплен карандаш.

Планка 4 может перемещаться вдоль паза, прорезанного внутри планки /, сохраняя перпендикулярное положзние.

Выбор величины L0 связан с заданным коэфициентом искажения.

Из соотношения треугольников видно, что ордината основного плана так относится к ординате аффинного плана, как расстояние между планками 2 и 5 к расстоянию между планками 5 и 4:

Для осуществления общих случаев направления проектирования предусмотрено вращательное движение планки 4, которая может быть закреплена с помощью транспортира под любым задан* ным углом а к планке, /. >

Первые конструкции приборов Рылова, Гольдина, Вальца дают обратное (зеркальное) аффинное изображение, что требует дополнительных графических работ для перехода к прямому изображению. В последней конструкции аффинографа Г. Б. Вальца обеспечено непосредственное получение прямого аффинного изображения. В последнее время предложено мною новых конструкций рассматриваемых приборов (Ушакова, Вальца, Юдицкого и др.).

§ 23. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

1. Определение и свойства

Стерерграфетеские проекции относятся к типу центральных. Проведем ца шаре горизонтальную плоскость Н через его центр (рис. §5). Плоскость И является плоскостью проекции. Она пересекает шар по большому кругу, называемому кругом стереографических проекций.. Нижнюю точку вертикального диаметра шара PZ принимают за центр (полюс) проекции.

Прямая в стереографической проекции. Прямая АВ, проходящая через точку О, проектируется на плоскость Н в ab (см. рис. 65). Так как црямая АВ проходит через точку О, то для определения еэ положения в пространстве достаточно знать проекцию ее точки пересечения с верхней половиной шара. Поэтому положение прямой АВ в стереографической проекции определяют положением точки а, которая отстоит от центра на расстоянии

90° —5 Oa = Rtg-

R—радиус шара; б —угол наклона прямой к плоскости Я. 8 Заказ 2352

114

Проекции, применяемые в маркшейдерском деле

Плоскость в стереографической проекции. Если через прямую А В (см. рис. 65) провести плоскость с углом падения 8, то эта плоскость, секущая шар по большому кругу ЕАСВ, спроектирует-ся в кривую ЕаСЬ. Для изображения рассматриваемой плоскости

Рис. 65. Стереографическая проекция

достаточно построить дугу ЕаС, представляющую проекцию линии пересечения плоскости с шаром. Дуга ЕаС есть дуга окружности, центр О', которой отстоит от центра на расстоянии 00' =

= /?t?8 (рис. 66). Таким образом, плоскость в стереографических проекциях изображают дугой окружности, центр которой находится в точке О', разделяющей отрезок ab пополам, т. е. аО' = О'Ь = О'Р; радиус этой окружности

г = i? secS,

Конформность стереографических проекций. Стереографические проекции конформны (равноугольны), т. е. углы между линиями на сфере равны углам между их проекциями. Это свойство позволяет применять стереографические проекции Рис. 66. К изображению плоско- для определения угловых вели-сти в стереографической проекции чин.

-Л

Стереографические проекции

115

Стереографическая сетка. Секут шар рядом горизонтальных плоскостей, в результате чего получают систему концентрических окружностей с центром в точке О. Если рассечь тот же шар вертикальными плоскостями, проходящими через прямую ZP и повернутыми друг к другу на заданный горизонтальный угол, то их проекции изобразятся системой радиусов. Совокупность концентрических окружностей и радиусов, построенных указанным способом, дает стереографическую сетку. С помощью этой сетки удобно решать многие задачи, например:

Определить элементы залегания (а, 8) прямой пересечения плоскостей Pi и Р2> заданных элементами залегания (аь Si и а2, 82).

Решение: а) строят след Р\?г плоскости Р по дирек-ционному углу си (рис. 67); б) проводят перпендикулярно следу линию падения плоски ста Р, на которой отела-* дывают отрезок ОМ =» = Rt&u в) описывают из точки М дугу радиусом MPi = MP'\t которая будет стереографической проекцией плоскости Р\ г) строят аналогично описанному изображение плоскости! Р*; д) проводят ОК — стереографическую проекцию прямой пересечения плоскостей Pi. Р2; е) по положению точки К определяют искомые элементы а = 118° и 8 = 22°.

Определись двугранный угол» между плоскостями Pi, Ра (условие предыдущего примера).

Решение. Соединив точки М и N с точкой /С, получим острый двугранный угол между плоскостями Pi, Р2.

Определить элементы залегания плоскости Р, проходящей через две прямые, заданные элементами залегания: oi, 61 и а2, 82.

Решение: а) строят на стереографической сетке плоскости Qi, Q2, перпендикулярные заданным прямым оь 81 и <»2, 8*

Рцс. 67. Определение элементов залегания прямой пересечения двух плоскостей

8*

116

Проекции, применяемые в Маркшейдерском деле

Элементы залегания плоскостей будут

Qi • • • • («1 + 90°); (90°-^); Q2 . • • • («2 + 90°); (90° — Ь2);

б) находят прямую пересечения плоскостей Qi и Q2 и ее элементы залегания (а', Ъ'). Искомые элементы залегания плоскости Р будут I I a = a'+90°; 8=с90Р_ f.

Подобным образом решают в стереографической проекции многие задачи горной геометрии.

ЛИТЕРАТУРА

1. П. А. Рыжов, Проекции, применяемые в геолого-маркшейдерском деле, М., 1951.

2. И. Н. Ушаков, Горная геометрия, М. 1951.

3. Г. Б. В а л ь ц и А. И. Р а ф а л о в и ч, Универсальный прибор для механического построения центральных и аффинных проекций, сб. «Маркшейдерское дело», вып. 2, Сталино, 1951.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

ТЕОРИЯ ОШИБОК И СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Доц. канд. техн. наук В. А. РОМАНОВ

щ 24. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Содержание предмета. Теория ошибок и способ наименьших квадратов есть учение об ошибках измерений, законах их накопления и различных приемах уравновешивания.

Теория ошибок и способ наименьших квадратов позволяют определить из результатов измерений:

1) наиболее вероятные значения измеренных величин;

2) меру ошибок по данным уравновешивания;

3) средние квадратические ошибки веройтнейшйх (уравновешенных) значений измеренных величин;

4) средние квадратические ошибки любых функций веройтнейшйх значений измеренных величин.

Значение для маркшейдерского дела. Теория ошибок и способ наименьших квадратов позволяют маркшейдеру сознательно овладеть техникой и методикой маркшейдерского дела; при минимальных затратах труда и времени обеспечить необходимые точности результатов.

Методика большей части маркшейдерских работ определяется обязательными техническими инструкциями. Правильное и сознательное применение инструктивных указаний немыслимо без знания теории ошибок и способа наименьших квадратов.

Для работ, не предусмотренных существующими техническими инструкциями, теория ошибок и способ наименьших квадратов позволяют маркшейдеру составить проект, выбрать методику измерений и рассчитать ожидаемую погрешность результата, а послз выполнения измерений привести их в соответствие с геометрическими условиями и определить погрешность.

Виды измерений. Все измерения делят по способу получения результатов на прямые, или непосредственные, и не прямые, иди посредственные (косвенные).

118

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

Непосредственными измерениями называют такие, при которых интересующую величину непосредственно сравнивают с принятой мерой.

Посредственными (косвенными) измерениями называют такие, при которых искомую величину вычисляют по результатам измерения других величин.

Измерения величин могут быть независимыми между собой или связанными какими-либо определенными условиями. В соответствии с этим различают измерения: прямые независимые, прямые условные. Так, например, измерения трех углов плоского треугольника есть измерения условные, так как сумма вероятнейших значений измеряемых углов должна равняться 180°.

Измерения могут быть равноточными (одновесными) и неравноточными (разновесными).

А. ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИИ

§ 25. СЛУЧАЙНЫЕ ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ СВОЙСТВА

Случайные ошибки. Все измерения сопровождаются ошибками. Различают ошибки грубые, случайные и систематические. Теория ошибок рассматривает только случайные ошибки. Появление случайных ошибок обусловлено несовершенством применяемых инструментов и органов чувств человека, а также изменениями условий внешней среды, пои которых ведутся измерения.

Свойства случайных ошибок:

1) при данных условиях измерений (инструмент, метод, наблюдатель, среда) случайные ошибки измерений по своей абсолютной величине не превышают некоторого предела;

2) чем больше абсолютная величина ошибки, тем реже она встречается при измерениях;

3) случайные ошибки положительные и отрицательные одинаково возможны;

4) равные по величине положительные и отрицательные ошибки одинаково возможны.

Истинные ошибки. Истинной ошибкой измерения 8 называют разность между истинным значением измеряемой величины L и ее значением /, полученным из измерений. Поскольку в большинстве случаев L неизвестно, то мы не можем знать и б, что заставляет заменить их другими видами ошибок (см. ниже).

Средняя квадратическая ошибка (мера ошибок). Для оценки условий измерений необходимо иметь результаты ряда измерений. Чем больше отличаются между собой отдельные измерения этого ряда, тем они менее точны. Иначе, чем сильнее рассеяние ряда, тем менее точны измерения. Для характеристики ряда измерений

Накопление средних ошибок при вычислению

119

одной ошибкой (для ряда равноточных измерений) вычисляют среднюю квадратическую ошибку

"-=±1/ —•

где

[ЬЦ =Ъ\ + Ь\+ . . . . Ь2п.

Средняя квадратическая ошибка характеризует условия измерений данного ряда, является средней ошибкой одного измерения и при увеличении п приближается к своему истинному значению для данных условий измерений.

§ 26. НАКОПЛЕНИЕ СРЕДНИХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ (СРЕДНИЕ ОШИБКИ ФУНКЦИЙ)

Основная формула. Если

Z = F (хх, х2, . . . , хп),

где Хи х2, ... хп— измеренные или независимые между собой величины, средние квадратические ошибки которых ти т2....... тп

то__

Формула (1) выведена в предположении, что частные производные dF

— при изменении аргументов на величину их ошибки остаются

OXi

постоянными. При ощутимом изменении частных производных формулой (1) пользоваться нельзя.

Пользуясь формулой (1), практически поступают следующим образом:

а) задаются точностью вычисления средней ошибки функции;

б) вычисляют с одной-тремя значащими цифрами величину средней ошибки функции;

в) выясняют требуемое число значащих цифр в ошибке функции;

г) определяют необходимое число значащих цифр в частной производной;

д) выясняют, является ли частная производная постоянной (в пределах необходимого числа значащих цифр) при изменении аргумента на величину средней ошибки. Частные случаи

1. Z = ах; m z = а • шх\

2. Z = Xl±x2± . .±хп: т2 = ±уГm\ + m\+ . . + m*

3. Z = a1xl±aax2± . . ±a„xn;

120

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

Логарифмический способ вычисления. Если функция измеренных величин имеет сложный вид, то целесообразно ее прологарифмировать и найти ошибку логарифма функции, от которой перейти к ошибке самой функции. Переход от ошибки логарифма к ошибке числа производят по формуле:

m\gZ aL

где dL— изменение логарифма Z при изменении числа Z на некоторую «единицу». Так, например, при пользований таблицами семизначных логарифмов dL есть изменение логарифма числа, выраженное в единицах седьмого десятичного знака, при изменении числа на единицу пятой значащей цифры. Условимся записывать

размерность величины dL знаком — .То же для пятизначных

таблиц будетj^-^j . Рабочие формулы для перехода от ошибки

логарифма к ошибке числа: для семизначных логарифмов

для пятизначных логарифмов

Рабочие формулы для перехода от оШбки числа к ошибке логарифма:

для семизначных логарифмов

mig z'M = mz И ■ dL |^r]; (8)

для пятизначных логарифмов

roigz[W = mz[ZdrfL[J^. (6)

Для вычисления средней ошибки логарифма. тригонометрической функции, формулы (5) и (6) напишутся в следующем виде. Для семизначных логарифмов:

ш,?г [Ч = та [декасекунды] dL [декДады]. (7)

Накопление средних ошибок при вычислениях

121

Для пятизначных логарифмов:

(8)

где Z — тригонометрическая функция; а — аргумент.

Установим зависимость между средней ошибкой десятичного логарифма функции (числа) и относительной ошибкой функции (числа).

Так как в формулах (2—6)

mz Z

т

(9)

где

t^lg*.

По формуле (9) составлена табл. 1, Дозволяющая легко переходить от средних ошибок логарифмов величин к средним относительным ошибкам самих величин.

Таблица 7

Пример. Пусть mlgZ = +43,4 [L7] По табл. 1 находим

— = ± (0\924 + 0,069 + 0f 009) x 10~6 ai+lX lQ~5f

122

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

Задачи на вычисление средних ошибок функций

Задача 1. В треугольнике измерены: основание b =-112,00 ± ±0,05 м и высота h = 60,18 ± 0,03 м. Определить площадь треугольника и ее среднюю ошибку с точностью + 0,1 м2.

Р е ш е н и е [по формуле (1) ]

S = T: я!-(5я»), + (лЧ!

«: = (•£•*)'+(ттА)8=т (h*<+bim^

ms= ± |/^60,18a • 0,05* + 112,00* • 0,03а = + 2,25 л*2.

Для обеспечения заданной точности следует производить вычисления с тремя значащими цифрами. Так как частные производные при изменении аргументов на величину средней ошибки остаются постоянными в пределах трех значащих цифр, то заданная точность легко достигается.

Решение [по формулам (2—6)] приведено в табл. 2. •lgS = lg'& + .lgA-lg 2;

2 2 2 п

mlgS = mlg6 + t"lgA; mlgb = mb ' dL> mlgh = mh dL> ms== a '

Таблица 2

Накопление средних ошибок при вычислениях 123

ms=± ^4- = ±2,2[Z4].

13

В рассматриваемой задаче абсолютная ошибка вычисления результата, таким образом, равна 3370 X 2,31 X 10"5 = ± 0,078 м2. Задача 2. Угол В в соединительном треугольнике* вычисляют ft

по формуле sin В =— sin С,

b = 4,5040 ± 0,0005 м; с = 2,0626 ± 0,0004 м\ Z С = 1°15'55" ± П"; угол В = 2°45'49". Найти среднюю ошибку угла В о точностью ± 1".

Решение 1 [по формуле(1)] дВ у / дВ

, ,дВ у /дВ \2 /дВ mcV

Диференцируя левую часть функции по углу В% а правую, соответственно, по ft, с и углу С, получим:

, , /V slnC \а / ft • sinC \2 / ft cosC \»

_ / /0,0221 ■ 5 • 10"* у» / 4,5 • 0,0221 • 4 ■ 10~П2

I 4,50-1. 11 \2_ + \ 2,06-0,999.2. 1С5 /

= ± 1^28,9 • Ю-12 + 88 • Ю-12 + 14230 • 10"12

тв=±}/Г 14347 • 10—12 = ± Н9,7 . Ш""6,

В секундах т"в = ± 119,7X 10-«Х2,06 X 105 = ±,24,6« + 25".

Вычисления следует производить с тремя значащими цифрами. Так как частные производные остаются постоянными в пределах грех значащих цифр, то заданная точность легко достигается.

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

Решение 2 [по формулам (2—6)]

lg sin В = lg ft + lg sin С — lg с;

mlg sin в = mig b + mlg sin с + mlg c'

. mlgsin В

mig sin с = шб dz,; тв= — d—

Таблица 3

mB = ± -l^iJ^L = ± „,(403 = ± и-,*.

263

[—1 L Мин J

§ 27. ВЕСА ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

Понятие о весе. Весом измерения или какого-либо результата называют величину обратно пропорциональную квадрату средней ошибки. При этом в качестве коэфициента пропорциональности может быть принято любое отвлеченное число. Квадратный корень Из коэфициента пропорциональности называют ошибкой единицы веса до уравновешивания. Размерность веса обратна размерности квадрата средней ошибки.

Формулы для определения веса функции.

Если Z=F(*i, х2, • • •, хг), а веса аргументов соответствении Ри Р%...Рп* то вес функции Z определяют по формуле

PZ \dXlJ Рг \дха) Р2 \дх„) Р„

Для частных случаев формула принимает более простой вид

11

Прямые, независимые, равноточные измерения 125

1 2 1 2 1 Z = a1x1±a2x2± . .±anxn; —- ^ а — + а — +

2 1

* п

Пример. В треугольнике ABC измерены стороны с и b и два угла а и у с ошибками:

mc = ± 0,28 л*л*; шъ = ± 0,44 лш ma = ±15"; тт = ±15*,

Принимая ошибку единицы веса -ц равной какому-либо произ. вольному числу, например, 15, получим веса:

р' = (w[ =2898 р»={w)a =1174 ЬН

р« =рт= (if) =

Б. УРАВНОВЕШИВАНИЕ ПРЯМЫХ, НЕЗАВИСИМЫХ

ИЗМЕРЕНИИ

§ 28. ПРЯМЫЕ, НЕЗАВИСИМЫЕ, РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ (ПРОСТАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СЕРЕДИНА)

Пусть /ь /2.../„—ряд равноточных измерений одной в той же

величины.

Наиболее вероятное значение измеряемой величины определяют как простую арифметическую середину по формулам:

1-И, t-m-JSL <„

п п

10 — приближенное значение;

отклонение li от /0» т. е. /. ss/o-f-8/,-. i: i

Средняя квадратическая ошибка ряда 1

Правильность вычислений проверяют по формулам

. М^-СЛв; [е]=0.

Средняя квадратическая ошибка простой арифметическое середины

126

Теория дшибок и способ наименьших КвадраШ

(3)

Пример. — Горизонтальный угол измерен равноточно пять раз. Обработать результаты измерений.

Таблица 4

1-85в42'46*± 1*. 4.

§ 29. ПРЯМЫЕ, НЕЗАВИСИМЫЕ, НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ (ОБЩАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СЕРЕДИНА)

Пусть /ь /г, • • •, /„ — ряд неравноточных измерений одной и той же величины;

тt,/лг... .,тп — средние квадратические ошибки этих измерений;

Pi,P2,---> Рп *— веса измерений.

Наиболее вероятное значение измеряемой величины определяют как среднее взвешенное по формулам

ьп — _ - — lO Т"

(1)

[/>] " ' [р]

Контроль определения средневзвешенного значения производят по формуле

[рг] = 0, где et = Lp — lt.

Прямые, независимые, неравноточныё измерений,

127

Средняя ошибка единицы веса (мера ошибок). Среднюю ошибку единицы веса определяют по формуле

или

(2)

(для случая, когда выражают меру ошибок

через истинные ошибки).

Средняя ошибка средневзвешенного значения

м , -,/ 1>е]_

(3)

Правильность вычислений [рее] проверяют равенством

[рзг] = — [р • е • 5/].

Пример. Угол / измерен неравноточно шесть раз. Обработать результаты измерений.

Таблица 5

Измерений I

рее

ргЪ,

Lp = 75°18'10* ± Г, 1

128

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

В. УРАВНОВЕШИВАНИЕ ПРЯМЫХ УСЛОВНЫХ ИЗМЕРЕНИИ (СВЯЗАННЫХ ТОЧНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ)

§ 30. ТЕОРИЯ

1. Общие сведения

Прямые условные измерения характеризуются тем, что здесь:

а) измеряют искомые величины;

б) искомые величины связаны между собой определенными условиями, выражаемыми условными уравнениями;

в) число искомых величин п больше числа условных уравнений пг.

Разность (п — пг) есть число избыточных измерений. Если число искомых величин л, а условных уравнений, например, 4, то в общем виде эти уравнения напишутся:

Fi , La . . . . hn) = 0; F2(LX, La . . . . L„) = 0; (1)

Fe (Llt L* . • . • L„) sb 0; F4 (Lj, La . . . . L„) = G; Li, L2,..., Ц,— истинные значения измеренных величин.

Подставив в уравнение (1) результаты измерений, получим:

Fi(li, /а • • • • ln) = Wi

F*('i, /а - • • • W-^a

F8(/i, 1в ... . In) « W. (2)

F4(/i» /а • • • • 'я) = W4

И^ь Н^2, U^e, IV4 — невяакж

Приведя систему (2) к линейному виду, получают систему уравнений погрешностей ^

+ .... +anen + W1 = 0;

Mi + Ma + .... +^лея + Н^2 = 0 *i*i + cae2 + • • • • +cnBn + W3 = 0 d1e1 + d2zi + . . . . +dnen + W4 = 0.

(3)

•1, *2. ...» — искомые поправки к измеренным величинам, т. е.

Lt^h + er, (4)

а\ ,&/, с,-, rfj — частные производные условных уравнений по измеренной величине с номером i.

Теория

129

Размерность производных определяют по формулам

Dw D^r Dw Dw Da. =-— ; Db. =-- ; Dc. =-- ; Dd. =-—. (5)

буквой D обозначен символ размерности.

Система (3) неопределенна, так как п > 4. Подчинив ее принципу наименьших квадратов

[ps е] = min,

получают систему нормальных уравнений для коррелат.

(6)

fei, ^2, ^з, fe4 — коррелаты (неопределенные множители); Рь Рг, Рз, —Рп—веса измеренных величин.

Число нормальных уравнений для коррелат всегда равно числу уравнений погрешностей. Из решения их находят коррелаты klf k% fea, kA.

Искомые поправки к измеренным величинам находят из уравнений поправок ,

ei = — + — fe2 + —^8 + — л4; Pi Pi Pi Pi

On b2 Co do

e» = — *i + — к* + -r h + ^ kt

(7)

Pi P% Pi Pi

e„= £>Lki+bLki+£lLk3+*!Lk^ Pn Pn Pn Pn

2. Вычисление коэфициентов нормальных уравнений

Вычисление коэфициентов нормальных уравнений ведут в определенном формуляре. В табл. 6 и 6а приведены полная и сокращенная схемы вычисления коэфициентов четырех нормальных уравнений.

9 Заказ 2352

Таблица б

Полная схема составления коэфициентов четырех нормальных уравнений

Теория

131

Контроль вычислений

М + [Ь] + [с] + И = М;

Si = ui + bi + Ci + di.

Таблица ба

Сокращенная схема составления коэфициентов четырех нормальных уравнений с помощью арифмометра

9*

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

Существует вариант сокращенной схемы вычисления коэфициентов нормальных уравнений, с которым можно ознакомиться в книге [61.

3. Решение системы нормальных уравнений

Систему нормальных уравнений (6) решают методом последовательного исключения неизвестных. Так, например, после исключения к\ из системы (6) получим систему трех уравнений: Г ЬЬ Л [be 1 Г bri 1

[т'-1]*, + [7"'1]^ + [7",]*,+,,г',1"0;

(8)

гдег

О)

где:

Г 061» rod]

VP J L P J J ee_| * \aa j

Исключая k2 из системы (8), получим систему двух уравнений:

|-у • 2] ка + ■ 2] к* + Wt ■ 2 = О

...........рч

W..2-1V<.|--L|-1.1V,.|.

Исключая из системы (9) А3, получим одно уравнение: Yj • 3JAr4 + • 3= О,

(.0)

Теория

133

где:

[f-Hf-'l-

Г cd I2 -• 2

. Р

Wx • 3 = 1^4 • 2 -

cc 1 — • 2 . P

Для нахождения неизвестных k4t k3t k2, k{ пользуются системой преобразованных (эквивалентных) уравнений, в которую включают лишь первые уравнения систем (б), (8), (9) и (10), т. е.

[т]*-[т]*+ и*- га—*

Из системы (11) получают необходимые для вычисления коррелат уравнения, называемые элиминационными

ш. ш, ill ^ [>гга '"га*"!

[т-]. га-]

*4 +W2 • 1 =0; (11) *4-f-W3 -2 = 0; *4+W4 • 3 = 0.

P

Г ю 1

--1

. p

А'з-

*з = -

bb

— • 1 L P

cd

— • 2 P

*4-

w2.1

bb P

(12)

*4 - -

з

If-] BM

a-4 = -

cc

P

Wj-3'

LP j

Таблица 7

Решение четырех нормальных уравнений по полной схеме (случай прямых измерений)

Таблица 8

Решение четырех нормальных уравнений по сокращенной схеме

Лист А {преа%хпо*аннш ураМемя)_Лист 5 Сзяилинационные уравнения)

Подвижная стропа

Теория

137

4. Схемы решения нормальных уравнений

Решение нормальных уравнений производят по определенным схемам. Ниже приводятся две наиболее употребительные схемы (полная и, так называемый, третий вариант сокращенной). Другие варианты сокращенной схемы приведены в книгах [3] и [6]. Схемы с числовыми примерами приведены на стр. 143—145.

Полная схема (табл. 7). Вычисления по этой схеме ведут по вертикали, в порядке нумерации горизонтальных строк. Строки 3, 8, 14, 21 оставляют незаполненными. Каждый этап вычислений завершают получением элиминационной строки (2, 7, 13, 20). Число элиминационных строк равно числу решаемых уравнений. ■ .

В нижней части схемы (строки 22—25) находят коррелаты из преобразованных (эквивалентных) уравнений. Каждую корре-лату находят как сумму величин, расположенных в данной горизонтальной строке.

При вычислениях по полной схеме в отдельных горизонтальных строках осуществляют контроль:

а) контроль элиминационных строк, где алгебраическая сумма чисел каждой элиминационной строки минус единица должна быть равна соответствующему числу столбца s' той же строки;

б) контроль строк 6, 12, 19 соответственно:

[bb.l] + [bc.l] + [bd.l]+WA-l=S't-l [сс.2} + [а/.2] + W32=S'32

[dd-3] +W43 = S'43.

Сокращенная схема (третий вариант) (табл. 8). Вычисления ведут на двух листах. Указанные на листе Б единицы являются неотъемлемой частью схемы. При решении осуществляют контроль горизонтальных строк. Вычисления ведут арифмометром и счетами

5. Контроль решения нормальных уравнений

Кроме построчного контроля вычислений, осуществляемого в ходе решения уравнений, производят контроль по формуле

W\ (W2 1)» (Ws • 2)a (WA • 3)e

-[W•'I=raWIfTifrз,

6. Вычисление поправок s к измеренным величинам

Поправки еь «г.. tn находят по формулам (7).

Контроль правильности определения абсолютных значений ноп-равок, а также составления и решения нормальных уравнений осуществляют по формуле

[рве] «-[«П. (Н)

138

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

Этот контроль перекрывает построчные контроля, а также контроль по формуле (13).

Если контроль (14) не производят, то [pes] находят по формуле

7. Заключительный контроль вычислений

Этот контроль проверяет правильность вычисления невязок условных уравнений и коэфициентов уравнений погрешностей, г. е. начальную стадию вычислений, и заключается в подстановке в условные уравнения уравновешенных значений измеренных величин, вычисленных по формуле L- = /f- + et- .

Условные уравнения при этой подстановке в пределах точности вычислений должны обращаться в нуль, т. е.

8. Общий ход решения задачи на уравновешивание прямых, условных измерений (связанных точными уравнениями)

1. Составление условных уравнений и вычисление их невязок (производят независимо дважды или в две руки).

2. Составление уравнений погрешностей, т. е. определение их коэфициентов с учетом размерностей по формулам (5) (производят независимо дважды или в две руки).

3. Вычисление весов измеренных величин (если в условии задачи даны не веса измеренных величин, а их средние квадратические ошибки).

4. Составление коэфициентов (нормальных уравнений по схемам, приведенным в табл. 6 или 6а.

5. Решение нормальных уравнений по полной или сокращенной схеме (табл. 7 и 8).

6. Контроль решения нормальных уравнений по формуле (13).

7. Вычисление поправок е по формулам (7) и образование [peel.

8. Контроль вычислений по формуле fp«e] =—

Ч Вычисление уравновешенных значений измеренных величин. 10. Заключительный контроль вычислений по формулам (16).

Примечание: Если измерения равновесны, то веса во всех формулах следует опустить.

^ (^2 • 1)а (HV2)2 (W4-3)2

(15)

F1(Ll,L2,L3 • • • Ln) = 0,

F2(L1,L2,L3 . . . Ln) = 0;

Рз(^1»^2»^з • • • Ln) = 0;

F4(^l.^2»^3 • • • Ln) = 0.

(16)

Пример уравновешивания геодезического четыреугольника j 39

§ 31. ПРИМЕР УРАВНОВЕШИВАНИЯ ПОЛНОГО

ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕУГОЛЬНИКА ПО СПОСОБУ ПРЯМЫХ УСЛОВНЫХ ИЗМЕРЕНИИ

В четыреугольнике (рис. 68) измерены с одинаковой точностью восемь углов /

а1==:61о07'57" В

а2 = 38°28'37"

а8 = 38°22'21"

а4 = 42°0Г15*

a5 = 29°14'35" ae = 70°22'00" а7 = 49°26'16* ae = 30°57'02"

Рис. 68. Геодезический четыре-угрльник

1. Составление условных уравнений и вычисление их невязок

Для уравниваемой фигуры имеем четыре условных уравнения. Невязки уравнений фигур будем выражать в секундах, невязку полюсного уравнения — в единицах седьмого знака логарифма, поправки к углам — в секундах. Тогда условные уравнения будут:

«t'+ <*2 + <*з + ot4 — 180° = Wx = + 10" «з + <ч + а5 + «в— 180° =W2 = + 11" a5 +• <*e + «7 + «а — 180° =W3 = — Г

Sin (at -f- a8) sin a8 • sin a5

sin 2 • sin (o4 -f- a5) sin a8

или в логарифмическом виде:

lg Sin (aj + a8) + lg Sin a3 -f lg sin a5 — lg sin aa — lg Sin (a4 -f + a6) — lg Sin a8 = w4

(полюс в точке D).

Вычисляют W4. При этом вместе с логарифмами синусов выписывают табличные разности Д логарифмов синусов на одну секунду.

140 Теория сшибок и способ наименьших квадратов

«1 +«8

lg8in92°Q4'59" = = 9,9997129

lg sin 38°22,21" = = 9.7929318

lg sin29°14'35" = = 9,6888783

1 = 9,4815230

— 0,8

+26,5

+27,6

lg sin38°28'37" = = 9,7939298

04 + <*5

lg sin 7i°i5'50,r = = 9,9763537

lg sin 3G°57'G2" = = 9,7112150

1=9,4814985

U^4 = + 245[L7].

2. Вычисление коэфициентов нормальных уравнен ш Необходимые вычисления ведут в табл. 9 и 9а.

Полная схема вычисления коэфициентов

Пример уравновешивания, геодезического четЫреугоАънйкй 141

Таблица Ра

Сокращенная схема вычисления коэфициентов четырех нормальных уравнении с помощью арифмометра

Таблица О

четырех нормальных уравнений

1 42 Теория ошибок и способ наименьших квадратов Коэфициенты d( находят так:

^ = д1 + в = -°>8;

d2 = - Д2 = — 26,5; </з=+Лз = + 26,5;

rf5 = + \-\ + < = 37,6 —7,1 = +30,5 </в = 0; d7 = 0;

de = + \ + 8~Л8 = -0,8- 35,1 = - 35,9

3. Решение нормальных уравнений

В табл. 10 приведены вычисления по полной схеме и в табл. 10а по сокращенной (третий вариант).

Из решения по полной схеме kx = —0,0202; k2 = —4,934; kz = 4,226; kK =. 0,00650. . ;

4. Контроль решения нормальных уравнений

По формуле

W* (W2 . \)* (W3 • 2)» (WA . 3)»

— [W . Л] =-- +-+-+-—

М • 1] [cc • 2] [dd • 3]

— [W]=+ 82,70

правая же часть равна +82,46.

Следовательно, данная система уравнений решена правильно.

Решение четырех Таблица 10а

нормальных уравнений по сокращенной схеме

Лист A {лреодрагобаннб/е уравнения)__Лист 6 {миминационные уравнения)

Таблица 10

Решение четырех нормальных уравнений по полной схеме

_(случай прямых измерений)_

146

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

5. Вычисление поправок « (табл. И)

Таблица 11

Вычисление поправок 8 и образование [гв]

6. Контроль вычислений по формуле

[ее] = -[^.Л]

_ [Wk] = + 82,70; [ее] = + 82,39. Отсюда делаем вывод, что уравнительные вычисления произведены правильно.

7. Вычисление уравновешенных значений измеренных углов (табл. 12)

Таблица 12

Вычисление уравновешенных значений измеренных умов

Определение точности измерений уравненных величин 147

8. Заключительный контроль вычислений

+ <««) + Ы + ('«) - 180° = 0'. 0 («») + М + («•) + («•) - 180° = 0", 0 («в) + («.) + Ы + (а.) - 180° = О', О

Ы + ("8)

lg sin 92°05'03*, 0 = 9,9997126

ы

lgsin38°22'16*, 2 = 9,7929188

lg sin 29° 14'34", 5 = 9,6888764 S = 9,4815078

lg sin 38°28'36", 8 = 9,7939292

Ы + ('.) lgsin71°15'4t\ 5 = 9,9763497

Ы

lg sin.30°57'06', 0 = 9,7112291 ^ = 9,4815080

Контроль сходится в пределах точности вычислений.

§ 32. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ УРАВНЕННЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ УРАВНЕННЫХ ВЕЛИЧИН

1. Средняя погрешность любой функции уравновешенных значений измеренных величин

Пусть Фу= Ф (Llt L2, . . ., Ln ) — любая функция уравновешенных значений измеренных величин.

Средняя погрешность функции Фд, при четырех избыточных измерениях:

г/л ш и ш ш

l'J"f7]"[f-]"[f-]"[T-]

(1)

г| —мера ошибок измерений (средняя ошибка единицы веса по данным уравновешивания);

дФ

// —~тг — частные производные от неуравновешенного значения dli

функции по измеренным величинам/

10*

148 Теория ошибок и способ наименьших квадратов

В сокращенной записи формула (1) имеет вид: Если число избыточных измерений равно ш, то

^'■••НгН- (1б>

Число членов в фигурной скобке (формула 1) всегда равно

Примечание. Для случая равновесных измерений в формулах (1), (1а) и (16) следузт опустить веса, a ч\ заменить через то — среднюю ошибку измеренных величин.

При определении по формуле (1) обычно принято вычис-

лять отдельно первый член |^~JH сумму остальных членов в фигурных скобках.

Для вычисления указанной суммы членов поступают следующим образом:

1) подставляют в схему решения нормальных уравне-

: — вместо невязки Wi, — вместо W2»

L Р J L P J L P J

вме-

сто Wz, |^~J вместо W4 и т. д. или для случая равновесных измерений соответственно [a/], \bf\, [cf\ \df\\

2) решают, каг обычно, «новый» столбец свободных членов;

3) производят как бы контроль решения нормальной системы по формуле (13), параграфа 31—вычисляют правую часть, которая оказывается равной

[т! [f-l [т-1 [т-]'

— m.[fim.m. m

и т. д. на-

ходят или непосредственно, или попутно с составлением коэфициентов нормальной системы, для чего в схемах (см. табл. 6 и 6а) добавляют дополнительные столбцы /, которые располагают непосредственно после уравновешиваемой системы.

Оценка точности геодезического четыре угольника 149

2. Средняя погрешность уравновешенного значения измеренной величины

Пусть Фу = Li — уравновешенному значению первой измеренной величины. Требуется найти mll .

dh

Здесь fi = —■ = 1, а остальные / равны нулю. oh

Подставляя найденные значения / в формулу (1), находят искомую среднюю погрешность.

д/2

Если Фу= 12, то /2=—— = 1» остальные / равны нулю.

0/2

Аналогично находят среднюю погрешность уравновешенного значения любой измеренной величины.

3. Мера погрешностей ч (ошибка единицы веса), вычисляемая по данным уравновешивания

Меру погрешностей находят по формуле:

,-±|/JM.. (2)

у m

где m — число условных уравнений.

Примечание. При вычислении средних погрешностей уравновешенных функций, а также уравновешенных значений измеренных величин по формуле (1) следует во всех случаях пользоваться мерой ошибок ть вычисленной по формуле (2), даже и в том случае, если до уравновешивания т) была принята произвольной.

Если измерения равновесны, то т| = т0 средней ошибке измеренных величин, откуда:

m0=±l/r(3)

§ 33. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ УРАВНОВЕШЕННОГО ПОЛНОГО ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕУГОЛЬНИКА (см. § 31)

1. По формуле (3) найдем среднюю ошибку измеренных углов четыреугольника

яц-1/ = ±4',54.

2. Найдем, например, среднюю ошибку следующей уравнояе-шенной функции Фу = (о«) — ((ц):

/«= 1; /* = — !; А-/«-/»-/•-/•-Л-о.

150

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

Здесь

[a/]' \Pf . 1]» [cf ■ 2]' [rf/ ■ 3]а

[ад] [bb-l] [cc-2] [dd-3] J

[/Я = /; + /;-2; [аП = а,-ай=\; [*/] = &4-*e=l; [c/] = c4-r8 = -1; W] = d* - ds = - 7,1 - (- 35,9) = + 28,8.

Подставляя в схему решения нормальной системы (например, в таблицу 10): .[а/1 вместо №V, [bf\ вместо W2; |с/1 вместо W3 и \df] вместо W+, решают «новый» столбец свободных членов (этот столбец представлен отдельно в табл. 13).

Образуют на арифмометре минус сумму произведений коэфициентов, стоящих на элиминационных строках, на коэфициенты, стоящие непосредственно над ними, производя как бы контроль по формуле (13). Минус сумма произведений в данном случае равна

[*/]' №/'1? [cf-W , W-3]«-[аа] [bb- 1] + [cc • 2] + [dd-3] Находят искомую среднюю ошибку данной уравновешенной функЦии М*Ы-(*6) =V0 (2 - D = mj=±4*,54.

S 34. ТЕОРИЯ ДВУХГРУППОВОГО УРАВНОВЕШИВАНИЯ (СЛУЧАИ РАВНОВЕСНЫХ ИЗМЕРЕНИИ) i

1. Общая теория способа

Пусть имеем, например, систему пяти условных уравнений и соответственно систему пяти уравнений ошибок с л неизвестными в виде:

[ae]+W1 = 0 [fe] + W2 = 0

[ce] + Ws = 0 (1)

[ae] + ?i = 0 tW + Ф2 = 0

Предполагая, что первые три уравнения являются простыми (коэфициенты — единицы и нули), выделим их в первую группу; два последних уравнения отнесем во вторую группу.

1 О случае неравновесных измерений дано «примечание» в конце § 35.

Теория двухгрупповоео уравновешивания 151

Уравнения ошибок второй группы должны быть заменены преобразованными уравнениями вида:

[Аг] +W1±0; (2)

[Bz]+Wu = 0;

где

At = at + at pal + bi {b\ + ct pel;

= ?i + Wi pal + W2 [b\ + W9 pel; Bt = Pi + at pa2 + bi № + ci Pc2; Wn = Та + WVf*2 + W2 [b2 + W3 Pe2,

т. е. коэфициенты и свободные члены преобразованных уравнений ошибок второй группы.

Неопределенные множители pfll, pal и pel находят как корни следующей системы:

[ad] pal + [ab] pol + [ас] pel + [ал] = 0;

[ab] pal + [bb] fM + [6e] pel + [fti] = 0; (3)

[ae] pal + [be] pal + [cc] pel + [ea] = o.

Система (3) есть система нормальных уравнений для первой группы, в которой свободные члены W\% V/ц и W3 заменены через [aa], [ba] и [с*].

152

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

Неопределенные; множители ра2, ра2 и рс2 находят как корни следующей системы:

[aa] \а2 + [ab] [Ь2 + [ас] Рс2 + [ар] = 0;

[ab] ра2 + [bb] р а2 + [be] рс2 + [Ь?] = 0; (4)

[ac] Ра2 + [ас] Ра2 + [ее] рс2 + [с?] = 0,

Система (4) есть система нормальных уравнений для- первой группы, в которой свободные члены Wu W2 и Wa заменены через [aBl [60] и .[сД.

Примечание. Число систем вида (3) и (4) равно числу уравнений ошибок во второй группе.

В результате составляют две независимые системы нормальных уравнений: Для первой группы:

№ *; + [ab] k'2 + [ас] k\ + Wx = 0;

[ab] k[ + [bb] k'„ + [be] k'9 + W2 - 0; (5)

[ae] k[ + [be] h'% + [c ] k'z + W9 = 0. Для второй группы:

[AA]kA+[AB]kB + Wj =0;

[AB] kA + [BB] kB + Wu = 0. (6)

Полные поправки е/ к измеренным величинам находят как суммы поправок за уравновешивание первой и второй групп

/ » ei = ef+e.»

где

Ч = *г Ь'г + Ъ к'2 + с< к'ш; (7)

4 = Ai kA + Bi кв-

2. Общий ход решения задачи на уравновешивание двухгрупловым методом

1. Составление условных уравнений и определение их невязок

2. Вычисление коэфициентов начальных уравнений ошибок а, а, с, а, р.

3. Составление коэфициентов нормальных уравнений для первой группы, а также свободных членов систем вида (3) и (4).

4. Решение нормальной системы первой группы [в рассматриваемом случае — системы (б)] с попутным вычислением неопре-

Теория двухгруппового уравновешивания

153

деленных множителей р решением систем вида (3) и (4) путем добавления новых столбцов или замены свободных членов системы (5) «новыми» свободными членами. Здесь также производят контроль решения систем (5), (3) и (4) по формулам вида (13) § 30.

5. Вычисление " коэфициентов А/, и свободных членов Wj , Wu преобразованных уравнений ошибок второй группы по формулам, приведенным непосредственно после системы (2) (стр. 151).

Примечание. Свободные члены преобразованных уравнений ошибок второй группы иногда вычисляют как невязки условных уравнений второй группы при подстановке в последние уравновешенных за счет первой группы значений измеренных величин.

6. Образование коэфициентов нормальной системы для второй преобразованной группы вида (6).

7. Решение нормальной системы для второй преобразованной группы вида (6) и контроль по формулам вида (13) § 30.

8. Вычисление полных поправок е по формулам вида (8), образование [е е] и контроль по формуле:

[ze] = ^W1k'1-W2k,2-]V3kf9-WIKA-WnKB. (9)

9. Вычисление уравновешенных значений измеренных величин и заключительный контроль.

3. Пример уравновешивания полного геодезического четыреугольника двухгрупповым способом

Рассматривается четыреугольник, уравновешенный выше обычным способом.

1. Составление условных уравнений и вычисление их невязок

«1 + «2 + °з + «4—180° « Wx = + 10* «5 + «• + <*? + *в— 180° = W2 = — Г

<**+«4+«5+«в— 180° =WS= + П" + lg Sin (*! + ag) + lg Sill a, + lg Sin a5 — lg Sin аа — — lg sin (a4 + ab) — lg sin ae = Wi = + 245 [L7].

Относят к первой группе первые два уравнения. Согласно (1) коэффициенты 3 и 4-го уравнений ошибок обозначают через а и 0, а свободные члены через ф! и ф2, т. е.

?1 = + Ц" и <ра = + 245[17].

2. Вычисление коэфициентов начальных уравнений ошибок а, Ь, а и 0 произведено в верхней части табл. 14.

3. Вычисление коэфициентов нормальных уравнений для первой группы, а также свободных членов систем вида (3) и (4), т. е. [аа\ \ba], fa01 и [60] произведено в нижней част табл. 14.

154

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

Таблица 14

Сокращенная схема вычисления коэфициентов четырех нормальных уравнений (случай прямых измерений)

4. Решение нормальной системы первой группы и определение неопределенных множителей pal9 и ра2, f02*

4*; + Ws = 0; *;=-—» = _ —--+ 1,75;

[ал] — 2

4ра, + [аа] = 0; ра, = -'—J = —---0,5;

4ря + [Ь] = 0; PSi = -Y = —— =-0,5;

га3] -7,9 4Ра1 + [ар] = 0; Рв2 = -^ = -—^ = + 1,975;

№3] —5,4 4р», + № - 0; pft?--4 = ~ --+1

Теория двухгруппового уравновешивания

155

5. Вычисление коэфициентов и свободных членов преобразованных уравнений ошибок второй группы Ап Вп Wi , Wu (табл. 15 и 16).

Таблица 15 Таблица 16

™1 = <Pi + рЛ1 + W2 9bl = 11 + 10 (- 0,5) + (- 7) (- 0,5) - 9,5;

Wn = <fa + W1 9a2 + W2 9b2 - 245 + 10 X 1,975 + + (—7) 1,35 = 255,30.

6. Образование коэфициентов нормальной системы для второй преобразованной группы (табл. 17).

Таблица 17

156

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

7. Решение нормальной системы для второй преобразованной группы и контроль (табл. 18).

Таблица 18

Контроль по формуле

[АА] ' [BB - 1] " Левая часть равна (—9,5) . (—4,933)—255,30 • 0,00648 = 45,209. Правая часть равна 9,5 - 4,75+ 13,31 0,00648 = 45,211.

8. Вычисление полных поправок е по формуле

*i = */ < + bi k[ + A, KA + Bt Кв. (табл. 19).

Контроль

[ее] = -1^ k[-W2k'%-W1KA — Wu • KB.

Левая часть равна + 82,46. Правая часть равна + 82,46.

9. Вычисление уравновешенных значений измеренных величин и заключительный контроль.

Поправки е в табл. 19 совпадают (в пределах точности вычислений) с поправками, полученными обычным способом (стр. 146).

Вычисление уравновешенных значений измеренных углов и заключительный контроль производят также, как и в пункте 8 § 31.

Оценка точности измерений при двухгрупповом уравновешивании 157

Таблица 19

§ 35. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ ДВУХГРУППОВОМ УРАВНОВЕШИВАНИИ (СЛУЧАИ РАВНОВЕСНЫХ ИЗМЕРЕНИИ)

Предположим, что общее число уравнений ошибок равно пяти, а число уравнений первой группы равно трем.

1. Средняя погрешность любой функции уравновешенных значений измеренных величин

м* ,jrm / [fl/Г , jbt • 1]' , [С/ ■ 2]» \ Мфу = Шо| [//] - ^— + -^-^ + j -

^[АА] + [ВВ.1]/!' (1)

Вычисление первого и второго членов Гв фигурных скобках формулы (1)1 нам уже известно (стр. 148); вычисление третьего члена аналогично вычислению второго, для чего в столбце свободных членов нормальной системы второй группы производят замену: Wj через fAf], ]Уц через [Bf] и решают «новый» столбец

158

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

свободных членов. После этого образовывают минус сумму произведений коэфициентов, стоящих на элиминационных строках, на коэфмциенты, стоящие в схеме непосредственно над ними1. В общем случае формула (1) имеет вид:

К,="»; [//]-

[«/]• , W • 1]» [с/-2]'

* ret 1 -1 "Т" г-_ лч I

[аа]

[HCJ

[^■1] [сс2]

число членов равно числу уравнений в первой группе

[В/1]*

Д [АА] "Г[ВВ1]

(2)

число членов равно числу уравнений во второй группе

2. Средняя погрешность измеренных величин

Искомую погрешность вычисляют по формуле

то ■

V

[ее]

число избыточных измерений [se] = [e's'] + [£*e*].

(3)

Примечание. Если измерения имеют различные веса, то последние войдут в знаменатели формул (3—7).

Формулы (8 § 34 и 2 $ 35) будут иметь вид:

[рее] = - W1 k[ - W2 k'% - W3 < - WT KA - Wu KB.

ItJ [f-] [f-«]

-jlLAp ' - ■

[рзе]-[ре'е'] + [ре*е*].

Мера ошибок

JUK.

[pee]

число избыточных измерений

l Формулировка дана применительно к полной схеме.

Теория

159

Г. УРАВНОВЕШИВАНИЕ ПОСРЕДСТВЕННЫХ (КОСВЕННЫХ) ИЗМЕРЕНИИ

§ 36. ТЕОРИЯ

1. Общие сведения

В посредственных (косвенных) измерениях измеряют не искомые величины, а их функции. Число наблюдавшихся функций всегда больше числа искомых величин. Введем обозначения:

X, У, Z, Т — истинные значения четырех (для простоты изложения) неизвестных; hi h, — результаты измерений функций неизвестных ве-

личин;

/Ль т2, тп—средние квадратические ошибки измеренных функций;

Pi, Рчь Рп — веса измеренных функций;

х, у, z, t, — приближенные значения неизвестных; 5у* Ъ2 Ъ; — наиболее вероятные поправки неизвестных; Li, La, L„ —истинные значения измеренных величин (функций). Тогда Ь, = Р!(Х, К, Z, Т);

La = F2(X, У, Z, Т) (1)

Ln = Fn(X, У, Z, Г).

Подставляя вместо X, У, Z, Г их приближенные значения, и вместо их измеренные значения, получим

Fi (х, У* 2, t) —/! = !/!;

Fa (х, У, z, 0-/2 = "а; (2)

Fn(x, У, z, 0-/л = "л.

1>ь v2t невязки, т.е. разности между приближенными и из-

меренными значениями функций. Придадим к приближенным значениям неизвестных поправки о*, Ъу, b2f bt, чтобы получить их уравновешенные значения, тогда

Fx (х + 5л, у + оу, г + bz, t + bt) - I, = е,

F2 (х + 5х, у + by, г + bz, t + bt) - /2 = е2

(3)

F„ (х + Ьх, у + by, z + bz, t + bt) - ln = sп

Разлагая функции F,- в ряд, получим систему уравнений погрешностей

tfi бх + bv by + С\ bz + rfj bt + vx =

яа ьх + b2 by + ca Sz + d2 5/ + v2 = e2;

................... (4)

an bx + bn by + cn bz + dn bt + vn t~ ert

160

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

В этих уравнениях

dF, dFi dFt dFi

a\ = -— ; D; = ——' ; С; = — ; a-. = - . ' dx dy dz ' 0i

Размерности коэфициентов aif bit cit dx определяются так: D4 D-4 DH Dei

D*i = -^T~ » °bi = "7Г J Dei = —— ; Ddi =-. (4a)

Dtx Dby Dbz Dbt

Система (4) содержит n уравнений с четырьмя неизвестными, причем л>4. Прилагая к ней условие наименьших квадратов, получим четыре нормальных уравнения с четырьмя неизвестными

[раа] Ьх + [pab] Ьу + [рас] bz + [pad] bt + [pav] = 0

[pab] bx + [pbb] by + [pbc] bz + [pbd] bt + [pbv] = 0

[рас] bx + [pbc] by + [pec] bz + [ped] bt + [pev] = 0 (5)

[pad] bx + [pbd] by -f [ped] bz + [pdd] bt + [pdv] = 0.

Решая систему нормальных уравнений (5), находят поправки &v» Ъ2, btt а по ним уравновешенные значения неизвестных.

2. Правила преобразования уравнении погрешностей

При вставке пунктов в жесткую триангуляционную сеть и уравнивании способом посредственных (косвенных) измерений число уравнений погрешностей может быть резко сокращено, следуя двум следующим правилам.

Первое правило. Если некоторая поправка (неизвестное) ветре* чается в м уравнениях погрешностей, и не встречается в остальных уравнениях, то систему m уравнении можно заменить новой системой (т + 1) уравнений.

Пример. Поправка В 2 встречается в пг уравнениях

' — 5z + ах bx + bx by + . . . +v1 = e1 . . . вес р

— bz + а%bx + Ь2 by + . • + v2 = еа • • • вес р

— bz +ambx+bmby+ . . . + vm = em.■ . . вес р

и не встречается в остальных уравнениях.

Систему пг уравнений можно заменить системой (пг +1) уравнений

аг bx + by -f- . . . + vx = 0 вес р а2 bx + b2 by + . . + v2 = 0 вес р

ambx + bmby+ . . . +vm = 0 вес р

[a]bx+[b]by+ . :+[v] = 0 вес—-

• m

последнее уравнение есть сумма остальных уравнений.

Теория

161

Второе правило. Уравнения погрешностей, отличающиеся друг от друга только свободными членами и весами, можно заменить одним уравнением.

Пример. Уравнения погрешностей.

fl4|T+Wjy+ • • • + v1 = *l. • .вес р2 +ЬЬу+ . . . + v2 = е2 • • . вес р2

а$*+ЬЪу+ . . = . .вес рп

заменяются одним уравнением

д ох + 0 оу + . , . + -= 0 pec Р;

Pi + Рг + • • • +

^ = Pi + Рг + • • • + Рл-

3. Схемы вычисления коэфициентов нормальных уравнений

Вычисление коэфициентов нормальных уравнений может быть произведено по схемам (табл. 20 и 20 а).

, Таблица 20

Сокращенная схема (первый вариант) вычисления коэфициентов двух нормальных уравнений (случай косвенных измерений)

КонтролЪ|

11 Заказ 2362

Таблица 20а-

Сокращенная схема (второй вариант) вычисл чя коэфициентов двух нормальных уравнений

(случай кос л \i измерений)

Теория

163

4. Решение системы нормальных уравнений

Систему нормальных уравнений (5) решают способом последовательного исключения неизвестных.

После исключения 8Л- из системы (5) будем иметь три уравнения

[pbb • 1] by + [pbc • 1] S2 + [pbd • 1] bt + [pbv- 1J = 0 [pbc • 1] by + [pec • l]o2 + [ped • 1] bt + [pcu • 1] = 0 (6) [pbd • l]Sy + [ped • 1] ог + [pdd • 1] 8/ + [pdv . 1] = 0

[Р<*&] [pa&]

где [pM . 1] = [pW] ■

[pad]

[pdy • l] = [pd,/|-

[pflfl]

Исключая из уравнений (6) by будем иметь два уравнения: [рсс • 2] bz + [ped • 2] bt + [pev . 2] = 0; [ped -2]bz + [pdd -2]bt + [pdv • 2] = 0; (7)

[pbc • 1] [p&c • 1]

[pec • 2] =[pcc-1]-

[pM • 1] [pbd • 1] [pft; . 1]

[pdt; • 2] = [pdy • 1]-

[pM> • 1]

Исключая из системы (7) неизвестное &z, получим одно уравнение с одним неизвестным

[pdd - 3] bt + [pdv • 3] = 0, (8)

[ped - 2] [ped • 2]

где [pdd • 3] = [pdd • 2]

[pdv • 3] = [pdu • 2] ■

[pec • 2] [ped - 2] [pet; • 2] [pec • 2]

Взяв первые уравнения систем (5—8), получим систему преобразованных (эквивалентных) уравнений

[pad] Ьх + [pab] by + [pac]bz + [pad] bt -f [pav] = 0; [pbb - 1] by + [pbc • \]bz + [pbd • 1]bt + [pbv • 1] = 0;

[pec • 2] bz + [ped • 2] bt + [pei/ • 2] = 0, (9) [pdd • 3] bt + [pdv • 3] = 0.

11*

164

Теория ошибок и способ наименьших квадратов

Умножив уравнения (9) соответственно на 1 1 1

[раа] ' [pbbl] ' [рее-2]' [pddZ] 9

получим элиминационные уравнения (элиминационные строки £, Е • 1, Е • 2, Е • 3)

[раа] [раа] [раа] [раа]

-»„-Ц*-Ц bz-^lA 5/_i^lil=0; (10) У [pbb • 1] [pbb . 1] [pbb -1] ' v '

-6z-[PCd'2J b/_i^. = 0; [pec-2] [pec 2]

[pdv, 3] .

[pdd • 3]

Из элиминационных уравнений находят неизвестные $1, 8z, 8#, Ьх.

5. Схемы решения нормальных уравнений

Схемы решения нормальных уравнений аналогичны схемам решения нормальных уравнений для коррелат. Ниже приведены две. схемы: сокращенная (табл. 21) и полная (табл. 22). Порядок заполнения полной схемы совпадает с нумерацией строк; для сокращенной схемы он указан арабскими цифрами.

6. Контроль решения нормальных уравнений

— [pav] Ьх — [pbv] by — [pev] bz — [pdv] bt =

= [pav? [Pbv • 1? [pev • 2]* [pdv • 3]» [pad] [pbb . 1] + [pee • 2] + [pdd . 3]

7. Контроль правильности вычисления поправок t

[pvv] — [pse] = — [pav] bx — [pbv] by — [pev] bz — [pdv] bt; (12) _ _ . _ [pav]* [pbv • l]2 [pev ■ 2]' [pdv ■ 3]»

rpee]=M-"^-^^~^^~7^r (13)

или [pse] = [pw.4]. (13a)

Таблица 27

Решение системы четырех нормальных уравнений по сокращенной схеме Лист А /преа&шШные (/раШния_Лостоулиминационнщ ypaMtttu)_

Таблица 22

Решение системы четырех нормальных уравнений по полной схеме

_(случай косвенных измерений)__